Intégrale de $$$9 e^{\frac{t}{2}}$$$

Déterminez $$$\int 9 e^{\frac{t}{2}}\, dt$$$.

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$ avec $$$c=9$$$ et $$$f{\left(t \right)} = e^{\frac{t}{2}}$$$ :

$${\color{red}{\int{9 e^{\frac{t}{2}} d t}}} = {\color{red}{\left(9 \int{e^{\frac{t}{2}} d t}\right)}}$$

Soit $$$u=\frac{t}{2}$$$.

Alors $$$du=\left(\frac{t}{2}\right)^{\prime }dt = \frac{dt}{2}$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$dt = 2 du$$$.

Par conséquent,

$$9 {\color{red}{\int{e^{\frac{t}{2}} d t}}} = 9 {\color{red}{\int{2 e^{u} d u}}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ avec $$$c=2$$$ et $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ :

$$9 {\color{red}{\int{2 e^{u} d u}}} = 9 {\color{red}{\left(2 \int{e^{u} d u}\right)}}$$

L'intégrale de la fonction exponentielle vaut $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$ :

$$18 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = 18 {\color{red}{e^{u}}}$$

Rappelons que $$$u=\frac{t}{2}$$$ :

$$18 e^{{\color{red}{u}}} = 18 e^{{\color{red}{\left(\frac{t}{2}\right)}}}$$

Par conséquent,

$$\int{9 e^{\frac{t}{2}} d t} = 18 e^{\frac{t}{2}}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{9 e^{\frac{t}{2}} d t} = 18 e^{\frac{t}{2}}+C$$

$$$\int 9 e^{\frac{t}{2}}\, dt = 18 e^{\frac{t}{2}} + C$$$A