$$$50 e^{- 2 t}$$$ 的積分

求$$$\int 50 e^{- 2 t}\, dt$$$。

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$，使用 $$$c=50$$$ 與 $$$f{\left(t \right)} = e^{- 2 t}$$$：

$${\color{red}{\int{50 e^{- 2 t} d t}}} = {\color{red}{\left(50 \int{e^{- 2 t} d t}\right)}}$$

令 $$$u=- 2 t$$$。

則 $$$du=\left(- 2 t\right)^{\prime }dt = - 2 dt$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dt = - \frac{du}{2}$$$。

該積分可改寫為

$$50 {\color{red}{\int{e^{- 2 t} d t}}} = 50 {\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{u}}{2}\right)d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=- \frac{1}{2}$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$：

$$50 {\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{u}}{2}\right)d u}}} = 50 {\color{red}{\left(- \frac{\int{e^{u} d u}}{2}\right)}}$$

指數函數的積分為 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$：

$$- 25 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = - 25 {\color{red}{e^{u}}}$$

回顧一下 $$$u=- 2 t$$$：

$$- 25 e^{{\color{red}{u}}} = - 25 e^{{\color{red}{\left(- 2 t\right)}}}$$

因此，

$$\int{50 e^{- 2 t} d t} = - 25 e^{- 2 t}$$

加上積分常數：

$$\int{50 e^{- 2 t} d t} = - 25 e^{- 2 t}+C$$

$$$\int 50 e^{- 2 t}\, dt = - 25 e^{- 2 t} + C$$$A