$$$50 e^{- 2 t}$$$の積分

$$$\int 50 e^{- 2 t}\, dt$$$ を求めよ。

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$ を、$$$c=50$$$ と $$$f{\left(t \right)} = e^{- 2 t}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{50 e^{- 2 t} d t}}} = {\color{red}{\left(50 \int{e^{- 2 t} d t}\right)}}$$

$$$u=- 2 t$$$ とする。

すると $$$du=\left(- 2 t\right)^{\prime }dt = - 2 dt$$$（手順は»で確認できます）、$$$dt = - \frac{du}{2}$$$ となります。

この積分は次のように書き換えられる

$$50 {\color{red}{\int{e^{- 2 t} d t}}} = 50 {\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{u}}{2}\right)d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=- \frac{1}{2}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ に対して適用する:

$$50 {\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{u}}{2}\right)d u}}} = 50 {\color{red}{\left(- \frac{\int{e^{u} d u}}{2}\right)}}$$

指数関数の積分は $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$です:

$$- 25 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = - 25 {\color{red}{e^{u}}}$$

次のことを思い出してください $$$u=- 2 t$$$:

$$- 25 e^{{\color{red}{u}}} = - 25 e^{{\color{red}{\left(- 2 t\right)}}}$$

したがって、

$$\int{50 e^{- 2 t} d t} = - 25 e^{- 2 t}$$

積分定数を加える:

$$\int{50 e^{- 2 t} d t} = - 25 e^{- 2 t}+C$$

$$$\int 50 e^{- 2 t}\, dt = - 25 e^{- 2 t} + C$$$A