Intégrale de $$$50 e^{- 2 t}$$$

Déterminez $$$\int 50 e^{- 2 t}\, dt$$$.

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$ avec $$$c=50$$$ et $$$f{\left(t \right)} = e^{- 2 t}$$$ :

$${\color{red}{\int{50 e^{- 2 t} d t}}} = {\color{red}{\left(50 \int{e^{- 2 t} d t}\right)}}$$

Soit $$$u=- 2 t$$$.

Alors $$$du=\left(- 2 t\right)^{\prime }dt = - 2 dt$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$dt = - \frac{du}{2}$$$.

L’intégrale peut être réécrite sous la forme

$$50 {\color{red}{\int{e^{- 2 t} d t}}} = 50 {\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{u}}{2}\right)d u}}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ avec $$$c=- \frac{1}{2}$$$ et $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ :

$$50 {\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{u}}{2}\right)d u}}} = 50 {\color{red}{\left(- \frac{\int{e^{u} d u}}{2}\right)}}$$

L'intégrale de la fonction exponentielle vaut $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$ :

$$- 25 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = - 25 {\color{red}{e^{u}}}$$

Rappelons que $$$u=- 2 t$$$ :

$$- 25 e^{{\color{red}{u}}} = - 25 e^{{\color{red}{\left(- 2 t\right)}}}$$

Par conséquent,

$$\int{50 e^{- 2 t} d t} = - 25 e^{- 2 t}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{50 e^{- 2 t} d t} = - 25 e^{- 2 t}+C$$

$$$\int 50 e^{- 2 t}\, dt = - 25 e^{- 2 t} + C$$$A