$$$\frac{1}{9 x e^{2} - 4}$$$ 的積分

求$$$\int \frac{1}{9 x e^{2} - 4}\, dx$$$。

令 $$$u=9 x e^{2} - 4$$$。

則 $$$du=\left(9 x e^{2} - 4\right)^{\prime }dx = 9 e^{2} dx$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dx = \frac{du}{9 e^{2}}$$$。

該積分可改寫為

$${\color{red}{\int{\frac{1}{9 x e^{2} - 4} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{9 u e^{2}} d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=\frac{1}{9 e^{2}}$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$$$：

$${\color{red}{\int{\frac{1}{9 u e^{2}} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{u} d u}}{9 e^{2}}\right)}}$$

$$$\frac{1}{u}$$$ 的積分是 $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$：

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}}{9 e^{2}} = \frac{{\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}}{9 e^{2}}$$

回顧一下 $$$u=9 x e^{2} - 4$$$：

$$\frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)}}{9 e^{2}} = \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(9 x e^{2} - 4\right)}}}\right| \right)}}{9 e^{2}}$$

因此，

$$\int{\frac{1}{9 x e^{2} - 4} d x} = \frac{\ln{\left(\left|{9 x e^{2} - 4}\right| \right)}}{9 e^{2}}$$

加上積分常數：

$$\int{\frac{1}{9 x e^{2} - 4} d x} = \frac{\ln{\left(\left|{9 x e^{2} - 4}\right| \right)}}{9 e^{2}}+C$$

$$$\int \frac{1}{9 x e^{2} - 4}\, dx = \frac{\ln\left(\left|{9 x e^{2} - 4}\right|\right)}{9 e^{2}} + C$$$A