$$$\frac{1}{\sqrt{25 - x^{2}}}$$$ 的積分

求$$$\int \frac{1}{\sqrt{25 - x^{2}}}\, dx$$$。

令 $$$x=5 \sin{\left(u \right)}$$$。

則 $$$dx=\left(5 \sin{\left(u \right)}\right)^{\prime }du = 5 \cos{\left(u \right)} du$$$（步驟見»）。

此外，由此可得 $$$u=\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{5} \right)}$$$。

因此，

$$$\frac{1}{\sqrt{25 - x^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{25 - 25 \sin^{2}{\left( u \right)}}}$$$

使用恆等式 $$$1 - \sin^{2}{\left( u \right)} = \cos^{2}{\left( u \right)}$$$：

$$$\frac{1}{\sqrt{25 - 25 \sin^{2}{\left( u \right)}}}=\frac{1}{5 \sqrt{1 - \sin^{2}{\left( u \right)}}}=\frac{1}{5 \sqrt{\cos^{2}{\left( u \right)}}}$$$

假設 $$$\cos{\left( u \right)} \ge 0$$$，可得如下：

$$$\frac{1}{5 \sqrt{\cos^{2}{\left( u \right)}}} = \frac{1}{5 \cos{\left( u \right)}}$$$

積分可以改寫為

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{25 - x^{2}}} d x}}} = {\color{red}{\int{1 d u}}}$$

配合 $$$c=1$$$，應用常數法則 $$$\int c\, du = c u$$$：

$${\color{red}{\int{1 d u}}} = {\color{red}{u}}$$

回顧一下 $$$u=\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{5} \right)}$$$：

$${\color{red}{u}} = {\color{red}{\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{5} \right)}}}$$

因此，

$$\int{\frac{1}{\sqrt{25 - x^{2}}} d x} = \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{5} \right)}$$

加上積分常數：

$$\int{\frac{1}{\sqrt{25 - x^{2}}} d x} = \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{5} \right)}+C$$

$$$\int \frac{1}{\sqrt{25 - x^{2}}}\, dx = \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{5} \right)} + C$$$A