$$$\frac{1}{\sqrt{25 - x^{2}}}$$$ 的积分

求$$$\int \frac{1}{\sqrt{25 - x^{2}}}\, dx$$$。

设$$$x=5 \sin{\left(u \right)}$$$。

则$$$dx=\left(5 \sin{\left(u \right)}\right)^{\prime }du = 5 \cos{\left(u \right)} du$$$（步骤见»）。

此外，可得$$$u=\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{5} \right)}$$$。

因此，

$$$\frac{1}{\sqrt{25 - x^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{25 - 25 \sin^{2}{\left( u \right)}}}$$$

利用恒等式 $$$1 - \sin^{2}{\left( u \right)} = \cos^{2}{\left( u \right)}$$$：

$$$\frac{1}{\sqrt{25 - 25 \sin^{2}{\left( u \right)}}}=\frac{1}{5 \sqrt{1 - \sin^{2}{\left( u \right)}}}=\frac{1}{5 \sqrt{\cos^{2}{\left( u \right)}}}$$$

假设$$$\cos{\left( u \right)} \ge 0$$$，我们得到如下结果：

$$$\frac{1}{5 \sqrt{\cos^{2}{\left( u \right)}}} = \frac{1}{5 \cos{\left( u \right)}}$$$

积分变为

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{25 - x^{2}}} d x}}} = {\color{red}{\int{1 d u}}}$$

应用常数法则 $$$\int c\, du = c u$$$，使用 $$$c=1$$$：

$${\color{red}{\int{1 d u}}} = {\color{red}{u}}$$

回忆一下 $$$u=\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{5} \right)}$$$:

$${\color{red}{u}} = {\color{red}{\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{5} \right)}}}$$

因此，

$$\int{\frac{1}{\sqrt{25 - x^{2}}} d x} = \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{5} \right)}$$

加上积分常数：

$$\int{\frac{1}{\sqrt{25 - x^{2}}} d x} = \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{5} \right)}+C$$

$$$\int \frac{1}{\sqrt{25 - x^{2}}}\, dx = \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{5} \right)} + C$$$A