$$$\frac{1}{\sqrt{25 - x^{2}}}$$$の積分

$$$\int \frac{1}{\sqrt{25 - x^{2}}}\, dx$$$ を求めよ。

$$$x=5 \sin{\left(u \right)}$$$ とする。

すると $$$dx=\left(5 \sin{\left(u \right)}\right)^{\prime }du = 5 \cos{\left(u \right)} du$$$ (手順は»で確認できます)。

また、$$$u=\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{5} \right)}$$$が成り立つ。

したがって、

$$$\frac{1}{\sqrt{25 - x^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{25 - 25 \sin^{2}{\left( u \right)}}}$$$

恒等式 $$$1 - \sin^{2}{\left( u \right)} = \cos^{2}{\left( u \right)}$$$ を用いよ:

$$$\frac{1}{\sqrt{25 - 25 \sin^{2}{\left( u \right)}}}=\frac{1}{5 \sqrt{1 - \sin^{2}{\left( u \right)}}}=\frac{1}{5 \sqrt{\cos^{2}{\left( u \right)}}}$$$

$$$\cos{\left( u \right)} \ge 0$$$ を仮定すると、以下が得られる:

$$$\frac{1}{5 \sqrt{\cos^{2}{\left( u \right)}}} = \frac{1}{5 \cos{\left( u \right)}}$$$

積分は以下のように書き換えられる

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{25 - x^{2}}} d x}}} = {\color{red}{\int{1 d u}}}$$

$$$c=1$$$ に対して定数則 $$$\int c\, du = c u$$$ を適用する:

$${\color{red}{\int{1 d u}}} = {\color{red}{u}}$$

次のことを思い出してください $$$u=\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{5} \right)}$$$:

$${\color{red}{u}} = {\color{red}{\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{5} \right)}}}$$

したがって、

$$\int{\frac{1}{\sqrt{25 - x^{2}}} d x} = \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{5} \right)}$$

積分定数を加える:

$$\int{\frac{1}{\sqrt{25 - x^{2}}} d x} = \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{5} \right)}+C$$

$$$\int \frac{1}{\sqrt{25 - x^{2}}}\, dx = \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{5} \right)} + C$$$A