Ολοκλήρωμα του $$$\frac{1}{\sqrt{25 - x^{2}}}$$$

Βρείτε $$$\int \frac{1}{\sqrt{25 - x^{2}}}\, dx$$$.

Έστω $$$x=5 \sin{\left(u \right)}$$$.

Τότε $$$dx=\left(5 \sin{\left(u \right)}\right)^{\prime }du = 5 \cos{\left(u \right)} du$$$ (τα βήματα μπορούν να προβληθούν »).

Επίσης, έπεται ότι $$$u=\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{5} \right)}$$$.

Ο ολοκληρωτέος γίνεται

$$$\frac{1}{\sqrt{25 - x^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{25 - 25 \sin^{2}{\left( u \right)}}}$$$

Χρησιμοποιήστε την ταυτότητα $$$1 - \sin^{2}{\left( u \right)} = \cos^{2}{\left( u \right)}$$$:

$$$\frac{1}{\sqrt{25 - 25 \sin^{2}{\left( u \right)}}}=\frac{1}{5 \sqrt{1 - \sin^{2}{\left( u \right)}}}=\frac{1}{5 \sqrt{\cos^{2}{\left( u \right)}}}$$$

Υποθέτοντας ότι $$$\cos{\left( u \right)} \ge 0$$$, προκύπτουν τα ακόλουθα:

$$$\frac{1}{5 \sqrt{\cos^{2}{\left( u \right)}}} = \frac{1}{5 \cos{\left( u \right)}}$$$

Το ολοκλήρωμα μπορεί να γραφεί εκ νέου ως

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{25 - x^{2}}} d x}}} = {\color{red}{\int{1 d u}}}$$

Εφαρμόστε τον κανόνα της σταθεράς $$$\int c\, du = c u$$$ με $$$c=1$$$:

$${\color{red}{\int{1 d u}}} = {\color{red}{u}}$$

Θυμηθείτε ότι $$$u=\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{5} \right)}$$$:

$${\color{red}{u}} = {\color{red}{\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{5} \right)}}}$$

Επομένως,

$$\int{\frac{1}{\sqrt{25 - x^{2}}} d x} = \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{5} \right)}$$

Προσθέστε τη σταθερά ολοκλήρωσης:

$$\int{\frac{1}{\sqrt{25 - x^{2}}} d x} = \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{5} \right)}+C$$

$$$\int \frac{1}{\sqrt{25 - x^{2}}}\, dx = \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{5} \right)} + C$$$A