$$$x^{3} e^{4 x^{2}}$$$ 的積分

求$$$\int x^{3} e^{4 x^{2}}\, dx$$$。

令 $$$u=x^{2}$$$。

則 $$$du=\left(x^{2}\right)^{\prime }dx = 2 x dx$$$ (步驟見»)，並可得 $$$x dx = \frac{du}{2}$$$。

該積分可改寫為

$${\color{red}{\int{x^{3} e^{4 x^{2}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{u e^{4 u}}{2} d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=\frac{1}{2}$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = u e^{4 u}$$$：

$${\color{red}{\int{\frac{u e^{4 u}}{2} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{u e^{4 u} d u}}{2}\right)}}$$

對於積分 $$$\int{u e^{4 u} d u}$$$，使用分部積分法 $$$\int \operatorname{m} \operatorname{dv} = \operatorname{m}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{dm}$$$。

令 $$$\operatorname{m}=u$$$ 與 $$$\operatorname{dv}=e^{4 u} du$$$。

則 $$$\operatorname{dm}=\left(u\right)^{\prime }du=1 du$$$（步驟見 »），且 $$$\operatorname{v}=\int{e^{4 u} d u}=\frac{e^{4 u}}{4}$$$（步驟見 »）。

因此，

$$\frac{{\color{red}{\int{u e^{4 u} d u}}}}{2}=\frac{{\color{red}{\left(u \cdot \frac{e^{4 u}}{4}-\int{\frac{e^{4 u}}{4} \cdot 1 d u}\right)}}}{2}=\frac{{\color{red}{\left(\frac{u e^{4 u}}{4} - \int{\frac{e^{4 u}}{4} d u}\right)}}}{2}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=\frac{1}{4}$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = e^{4 u}$$$：

$$\frac{u e^{4 u}}{8} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{e^{4 u}}{4} d u}}}}{2} = \frac{u e^{4 u}}{8} - \frac{{\color{red}{\left(\frac{\int{e^{4 u} d u}}{4}\right)}}}{2}$$

令 $$$v=4 u$$$。

則 $$$dv=\left(4 u\right)^{\prime }du = 4 du$$$ (步驟見»)，並可得 $$$du = \frac{dv}{4}$$$。

因此，

$$\frac{u e^{4 u}}{8} - \frac{{\color{red}{\int{e^{4 u} d u}}}}{8} = \frac{u e^{4 u}}{8} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{e^{v}}{4} d v}}}}{8}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(v \right)}\, dv = c \int f{\left(v \right)}\, dv$$$，使用 $$$c=\frac{1}{4}$$$ 與 $$$f{\left(v \right)} = e^{v}$$$：

$$\frac{u e^{4 u}}{8} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{e^{v}}{4} d v}}}}{8} = \frac{u e^{4 u}}{8} - \frac{{\color{red}{\left(\frac{\int{e^{v} d v}}{4}\right)}}}{8}$$

指數函數的積分為 $$$\int{e^{v} d v} = e^{v}$$$：

$$\frac{u e^{4 u}}{8} - \frac{{\color{red}{\int{e^{v} d v}}}}{32} = \frac{u e^{4 u}}{8} - \frac{{\color{red}{e^{v}}}}{32}$$

回顧一下 $$$v=4 u$$$：

$$\frac{u e^{4 u}}{8} - \frac{e^{{\color{red}{v}}}}{32} = \frac{u e^{4 u}}{8} - \frac{e^{{\color{red}{\left(4 u\right)}}}}{32}$$

回顧一下 $$$u=x^{2}$$$：

$$- \frac{e^{4 {\color{red}{u}}}}{32} + \frac{{\color{red}{u}} e^{4 {\color{red}{u}}}}{8} = - \frac{e^{4 {\color{red}{x^{2}}}}}{32} + \frac{{\color{red}{x^{2}}} e^{4 {\color{red}{x^{2}}}}}{8}$$

因此，

$$\int{x^{3} e^{4 x^{2}} d x} = \frac{x^{2} e^{4 x^{2}}}{8} - \frac{e^{4 x^{2}}}{32}$$

化簡：

$$\int{x^{3} e^{4 x^{2}} d x} = \frac{\left(4 x^{2} - 1\right) e^{4 x^{2}}}{32}$$

加上積分常數：

$$\int{x^{3} e^{4 x^{2}} d x} = \frac{\left(4 x^{2} - 1\right) e^{4 x^{2}}}{32}+C$$

$$$\int x^{3} e^{4 x^{2}}\, dx = \frac{\left(4 x^{2} - 1\right) e^{4 x^{2}}}{32} + C$$$A