$$$x^{3} e^{4 x^{2}}$$$の積分

$$$\int x^{3} e^{4 x^{2}}\, dx$$$ を求めよ。

$$$u=x^{2}$$$ とする。

すると $$$du=\left(x^{2}\right)^{\prime }dx = 2 x dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$x dx = \frac{du}{2}$$$ となります。

したがって、

$${\color{red}{\int{x^{3} e^{4 x^{2}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{u e^{4 u}}{2} d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=\frac{1}{2}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = u e^{4 u}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\frac{u e^{4 u}}{2} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{u e^{4 u} d u}}{2}\right)}}$$

積分 $$$\int{u e^{4 u} d u}$$$ には、部分積分法$$$\int \operatorname{m} \operatorname{dv} = \operatorname{m}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{dm}$$$を用いてください。

$$$\operatorname{m}=u$$$ と $$$\operatorname{dv}=e^{4 u} du$$$ とする。

したがって、$$$\operatorname{dm}=\left(u\right)^{\prime }du=1 du$$$（手順は»を参照）および$$$\operatorname{v}=\int{e^{4 u} d u}=\frac{e^{4 u}}{4}$$$（手順は»を参照）。

したがって、

$$\frac{{\color{red}{\int{u e^{4 u} d u}}}}{2}=\frac{{\color{red}{\left(u \cdot \frac{e^{4 u}}{4}-\int{\frac{e^{4 u}}{4} \cdot 1 d u}\right)}}}{2}=\frac{{\color{red}{\left(\frac{u e^{4 u}}{4} - \int{\frac{e^{4 u}}{4} d u}\right)}}}{2}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=\frac{1}{4}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = e^{4 u}$$$ に対して適用する:

$$\frac{u e^{4 u}}{8} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{e^{4 u}}{4} d u}}}}{2} = \frac{u e^{4 u}}{8} - \frac{{\color{red}{\left(\frac{\int{e^{4 u} d u}}{4}\right)}}}{2}$$

$$$v=4 u$$$ とする。

すると $$$dv=\left(4 u\right)^{\prime }du = 4 du$$$（手順は»で確認できます）、$$$du = \frac{dv}{4}$$$ となります。

したがって、

$$\frac{u e^{4 u}}{8} - \frac{{\color{red}{\int{e^{4 u} d u}}}}{8} = \frac{u e^{4 u}}{8} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{e^{v}}{4} d v}}}}{8}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(v \right)}\, dv = c \int f{\left(v \right)}\, dv$$$ を、$$$c=\frac{1}{4}$$$ と $$$f{\left(v \right)} = e^{v}$$$ に対して適用する:

$$\frac{u e^{4 u}}{8} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{e^{v}}{4} d v}}}}{8} = \frac{u e^{4 u}}{8} - \frac{{\color{red}{\left(\frac{\int{e^{v} d v}}{4}\right)}}}{8}$$

指数関数の積分は $$$\int{e^{v} d v} = e^{v}$$$です:

$$\frac{u e^{4 u}}{8} - \frac{{\color{red}{\int{e^{v} d v}}}}{32} = \frac{u e^{4 u}}{8} - \frac{{\color{red}{e^{v}}}}{32}$$

次のことを思い出してください $$$v=4 u$$$:

$$\frac{u e^{4 u}}{8} - \frac{e^{{\color{red}{v}}}}{32} = \frac{u e^{4 u}}{8} - \frac{e^{{\color{red}{\left(4 u\right)}}}}{32}$$

次のことを思い出してください $$$u=x^{2}$$$:

$$- \frac{e^{4 {\color{red}{u}}}}{32} + \frac{{\color{red}{u}} e^{4 {\color{red}{u}}}}{8} = - \frac{e^{4 {\color{red}{x^{2}}}}}{32} + \frac{{\color{red}{x^{2}}} e^{4 {\color{red}{x^{2}}}}}{8}$$

したがって、

$$\int{x^{3} e^{4 x^{2}} d x} = \frac{x^{2} e^{4 x^{2}}}{8} - \frac{e^{4 x^{2}}}{32}$$

簡単化せよ:

$$\int{x^{3} e^{4 x^{2}} d x} = \frac{\left(4 x^{2} - 1\right) e^{4 x^{2}}}{32}$$

積分定数を加える:

$$\int{x^{3} e^{4 x^{2}} d x} = \frac{\left(4 x^{2} - 1\right) e^{4 x^{2}}}{32}+C$$

$$$\int x^{3} e^{4 x^{2}}\, dx = \frac{\left(4 x^{2} - 1\right) e^{4 x^{2}}}{32} + C$$$A