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$$$- \sqrt[3]{3} \sqrt[3]{x} - 1$$$ 的積分
您的輸入
求$$$\int \left(- \sqrt[3]{3} \sqrt[3]{x} - 1\right)\, dx$$$。
解答
逐項積分：
$${\color{red}{\int{\left(- \sqrt[3]{3} \sqrt[3]{x} - 1\right)d x}}} = {\color{red}{\left(- \int{1 d x} - \int{\sqrt[3]{3} \sqrt[3]{x} d x}\right)}}$$
配合 $$$c=1$$$，應用常數法則 $$$\int c\, dx = c x$$$：
$$- \int{\sqrt[3]{3} \sqrt[3]{x} d x} - {\color{red}{\int{1 d x}}} = - \int{\sqrt[3]{3} \sqrt[3]{x} d x} - {\color{red}{x}}$$
套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$，使用 $$$c=\sqrt[3]{3}$$$ 與 $$$f{\left(x \right)} = \sqrt[3]{x}$$$：
$$- x - {\color{red}{\int{\sqrt[3]{3} \sqrt[3]{x} d x}}} = - x - {\color{red}{\sqrt[3]{3} \int{\sqrt[3]{x} d x}}}$$
套用冪次法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，以 $$$n=\frac{1}{3}$$$：
$$- x - \sqrt[3]{3} {\color{red}{\int{\sqrt[3]{x} d x}}}=- x - \sqrt[3]{3} {\color{red}{\int{x^{\frac{1}{3}} d x}}}=- x - \sqrt[3]{3} {\color{red}{\frac{x^{\frac{1}{3} + 1}}{\frac{1}{3} + 1}}}=- x - \sqrt[3]{3} {\color{red}{\left(\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4}\right)}}$$
因此，
$$\int{\left(- \sqrt[3]{3} \sqrt[3]{x} - 1\right)d x} = - \frac{3 \sqrt[3]{3} x^{\frac{4}{3}}}{4} - x$$
加上積分常數：
$$\int{\left(- \sqrt[3]{3} \sqrt[3]{x} - 1\right)d x} = - \frac{3 \sqrt[3]{3} x^{\frac{4}{3}}}{4} - x+C$$
答案
$$$\int \left(- \sqrt[3]{3} \sqrt[3]{x} - 1\right)\, dx = \left(- \frac{3 \sqrt[3]{3} x^{\frac{4}{3}}}{4} - x\right) + C$$$A