Intégrale de $$$- \sqrt[3]{3} \sqrt[3]{x} - 1$$$

Déterminez $$$\int \left(- \sqrt[3]{3} \sqrt[3]{x} - 1\right)\, dx$$$.

Intégrez terme à terme:

$${\color{red}{\int{\left(- \sqrt[3]{3} \sqrt[3]{x} - 1\right)d x}}} = {\color{red}{\left(- \int{1 d x} - \int{\sqrt[3]{3} \sqrt[3]{x} d x}\right)}}$$

Appliquez la règle de la constante $$$\int c\, dx = c x$$$ avec $$$c=1$$$:

$$- \int{\sqrt[3]{3} \sqrt[3]{x} d x} - {\color{red}{\int{1 d x}}} = - \int{\sqrt[3]{3} \sqrt[3]{x} d x} - {\color{red}{x}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ avec $$$c=\sqrt[3]{3}$$$ et $$$f{\left(x \right)} = \sqrt[3]{x}$$$ :

$$- x - {\color{red}{\int{\sqrt[3]{3} \sqrt[3]{x} d x}}} = - x - {\color{red}{\sqrt[3]{3} \int{\sqrt[3]{x} d x}}}$$

Appliquer la règle de puissance $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ avec $$$n=\frac{1}{3}$$$ :

$$- x - \sqrt[3]{3} {\color{red}{\int{\sqrt[3]{x} d x}}}=- x - \sqrt[3]{3} {\color{red}{\int{x^{\frac{1}{3}} d x}}}=- x - \sqrt[3]{3} {\color{red}{\frac{x^{\frac{1}{3} + 1}}{\frac{1}{3} + 1}}}=- x - \sqrt[3]{3} {\color{red}{\left(\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4}\right)}}$$

Par conséquent,

$$\int{\left(- \sqrt[3]{3} \sqrt[3]{x} - 1\right)d x} = - \frac{3 \sqrt[3]{3} x^{\frac{4}{3}}}{4} - x$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{\left(- \sqrt[3]{3} \sqrt[3]{x} - 1\right)d x} = - \frac{3 \sqrt[3]{3} x^{\frac{4}{3}}}{4} - x+C$$

$$$\int \left(- \sqrt[3]{3} \sqrt[3]{x} - 1\right)\, dx = \left(- \frac{3 \sqrt[3]{3} x^{\frac{4}{3}}}{4} - x\right) + C$$$A