|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
$$$4 t^{2} - 11$$$ 的积分
您的输入
求$$$\int \left(4 t^{2} - 11\right)\, dt$$$。
解答
逐项积分：
$${\color{red}{\int{\left(4 t^{2} - 11\right)d t}}} = {\color{red}{\left(- \int{11 d t} + \int{4 t^{2} d t}\right)}}$$
应用常数法则 $$$\int c\, dt = c t$$$，使用 $$$c=11$$$：
$$\int{4 t^{2} d t} - {\color{red}{\int{11 d t}}} = \int{4 t^{2} d t} - {\color{red}{\left(11 t\right)}}$$
对 $$$c=4$$$ 和 $$$f{\left(t \right)} = t^{2}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$：
$$- 11 t + {\color{red}{\int{4 t^{2} d t}}} = - 11 t + {\color{red}{\left(4 \int{t^{2} d t}\right)}}$$
应用幂法则 $$$\int t^{n}\, dt = \frac{t^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，其中 $$$n=2$$$：
$$- 11 t + 4 {\color{red}{\int{t^{2} d t}}}=- 11 t + 4 {\color{red}{\frac{t^{1 + 2}}{1 + 2}}}=- 11 t + 4 {\color{red}{\left(\frac{t^{3}}{3}\right)}}$$
因此，
$$\int{\left(4 t^{2} - 11\right)d t} = \frac{4 t^{3}}{3} - 11 t$$
化简：
$$\int{\left(4 t^{2} - 11\right)d t} = \frac{t \left(4 t^{2} - 33\right)}{3}$$
加上积分常数：
$$\int{\left(4 t^{2} - 11\right)d t} = \frac{t \left(4 t^{2} - 33\right)}{3}+C$$
答案
$$$\int \left(4 t^{2} - 11\right)\, dt = \frac{t \left(4 t^{2} - 33\right)}{3} + C$$$A