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$$$x + y + z$$$ 关于$$$x$$$的积分
您的输入
求$$$\int \left(x + y + z\right)\, dx$$$。
解答
逐项积分：
$${\color{red}{\int{\left(x + y + z\right)d x}}} = {\color{red}{\left(\int{x d x} + \int{y d x} + \int{z d x}\right)}}$$
应用幂法则 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，其中 $$$n=1$$$：
$$\int{y d x} + \int{z d x} + {\color{red}{\int{x d x}}}=\int{y d x} + \int{z d x} + {\color{red}{\frac{x^{1 + 1}}{1 + 1}}}=\int{y d x} + \int{z d x} + {\color{red}{\left(\frac{x^{2}}{2}\right)}}$$
应用常数法则 $$$\int c\, dx = c x$$$，使用 $$$c=y$$$：
$$\frac{x^{2}}{2} + \int{z d x} + {\color{red}{\int{y d x}}} = \frac{x^{2}}{2} + \int{z d x} + {\color{red}{x y}}$$
应用常数法则 $$$\int c\, dx = c x$$$，使用 $$$c=z$$$：
$$\frac{x^{2}}{2} + x y + {\color{red}{\int{z d x}}} = \frac{x^{2}}{2} + x y + {\color{red}{x z}}$$
因此，
$$\int{\left(x + y + z\right)d x} = \frac{x^{2}}{2} + x y + x z$$
化简：
$$\int{\left(x + y + z\right)d x} = \frac{x \left(x + 2 y + 2 z\right)}{2}$$
加上积分常数：
$$\int{\left(x + y + z\right)d x} = \frac{x \left(x + 2 y + 2 z\right)}{2}+C$$
答案
$$$\int \left(x + y + z\right)\, dx = \frac{x \left(x + 2 y + 2 z\right)}{2} + C$$$A