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$$$x + y + z$$$ の $$$x$$$ に関する積分
入力内容
$$$\int \left(x + y + z\right)\, dx$$$ を求めよ。
解答
項別に積分せよ:
$${\color{red}{\int{\left(x + y + z\right)d x}}} = {\color{red}{\left(\int{x d x} + \int{y d x} + \int{z d x}\right)}}$$
$$$n=1$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:
$$\int{y d x} + \int{z d x} + {\color{red}{\int{x d x}}}=\int{y d x} + \int{z d x} + {\color{red}{\frac{x^{1 + 1}}{1 + 1}}}=\int{y d x} + \int{z d x} + {\color{red}{\left(\frac{x^{2}}{2}\right)}}$$
$$$c=y$$$ に対して定数則 $$$\int c\, dx = c x$$$ を適用する:
$$\frac{x^{2}}{2} + \int{z d x} + {\color{red}{\int{y d x}}} = \frac{x^{2}}{2} + \int{z d x} + {\color{red}{x y}}$$
$$$c=z$$$ に対して定数則 $$$\int c\, dx = c x$$$ を適用する:
$$\frac{x^{2}}{2} + x y + {\color{red}{\int{z d x}}} = \frac{x^{2}}{2} + x y + {\color{red}{x z}}$$
したがって、
$$\int{\left(x + y + z\right)d x} = \frac{x^{2}}{2} + x y + x z$$
簡単化せよ:
$$\int{\left(x + y + z\right)d x} = \frac{x \left(x + 2 y + 2 z\right)}{2}$$
積分定数を加える:
$$\int{\left(x + y + z\right)d x} = \frac{x \left(x + 2 y + 2 z\right)}{2}+C$$
解答
$$$\int \left(x + y + z\right)\, dx = \frac{x \left(x + 2 y + 2 z\right)}{2} + C$$$A