$$$y e^{- x}$$$ 关于$$$x$$$的积分

求$$$\int y e^{- x}\, dx$$$。

对 $$$c=y$$$ 和 $$$f{\left(x \right)} = e^{- x}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$：

$${\color{red}{\int{y e^{- x} d x}}} = {\color{red}{y \int{e^{- x} d x}}}$$

设$$$u=- x$$$。

则$$$du=\left(- x\right)^{\prime }dx = - dx$$$ (步骤见»)，并有$$$dx = - du$$$。

积分变为

$$y {\color{red}{\int{e^{- x} d x}}} = y {\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}}$$

对 $$$c=-1$$$ 和 $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$：

$$y {\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}} = y {\color{red}{\left(- \int{e^{u} d u}\right)}}$$

指数函数的积分为 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$：

$$- y {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = - y {\color{red}{e^{u}}}$$

回忆一下 $$$u=- x$$$:

$$- y e^{{\color{red}{u}}} = - y e^{{\color{red}{\left(- x\right)}}}$$

因此，

$$\int{y e^{- x} d x} = - y e^{- x}$$

加上积分常数：

$$\int{y e^{- x} d x} = - y e^{- x}+C$$

$$$\int y e^{- x}\, dx = - y e^{- x} + C$$$A