$$$x$$$ değişkenine göre $$$y e^{- x}$$$ fonksiyonunun integrali

Bulun: $$$\int y e^{- x}\, dx$$$.

Sabit katsayı kuralı $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$'i $$$c=y$$$ ve $$$f{\left(x \right)} = e^{- x}$$$ ile uygula:

$${\color{red}{\int{y e^{- x} d x}}} = {\color{red}{y \int{e^{- x} d x}}}$$

$$$u=- x$$$ olsun.

Böylece $$$du=\left(- x\right)^{\prime }dx = - dx$$$ (adımlar » görülebilir) ve $$$dx = - du$$$ elde ederiz.

O halde,

$$y {\color{red}{\int{e^{- x} d x}}} = y {\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}}$$

Sabit katsayı kuralı $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$'i $$$c=-1$$$ ve $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ ile uygula:

$$y {\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}} = y {\color{red}{\left(- \int{e^{u} d u}\right)}}$$

Üstel fonksiyonun integrali $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$- y {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = - y {\color{red}{e^{u}}}$$

Hatırlayın ki $$$u=- x$$$:

$$- y e^{{\color{red}{u}}} = - y e^{{\color{red}{\left(- x\right)}}}$$

Dolayısıyla,

$$\int{y e^{- x} d x} = - y e^{- x}$$

İntegrasyon sabitini ekleyin:

$$\int{y e^{- x} d x} = - y e^{- x}+C$$

$$$\int y e^{- x}\, dx = - y e^{- x} + C$$$A