Intégrale de $$$y e^{- x}$$$ par rapport à $$$x$$$

Déterminez $$$\int y e^{- x}\, dx$$$.

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ avec $$$c=y$$$ et $$$f{\left(x \right)} = e^{- x}$$$ :

$${\color{red}{\int{y e^{- x} d x}}} = {\color{red}{y \int{e^{- x} d x}}}$$

Soit $$$u=- x$$$.

Alors $$$du=\left(- x\right)^{\prime }dx = - dx$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$dx = - du$$$.

Donc,

$$y {\color{red}{\int{e^{- x} d x}}} = y {\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ avec $$$c=-1$$$ et $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ :

$$y {\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}} = y {\color{red}{\left(- \int{e^{u} d u}\right)}}$$

L'intégrale de la fonction exponentielle vaut $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$ :

$$- y {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = - y {\color{red}{e^{u}}}$$

Rappelons que $$$u=- x$$$ :

$$- y e^{{\color{red}{u}}} = - y e^{{\color{red}{\left(- x\right)}}}$$

Par conséquent,

$$\int{y e^{- x} d x} = - y e^{- x}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{y e^{- x} d x} = - y e^{- x}+C$$

$$$\int y e^{- x}\, dx = - y e^{- x} + C$$$A