Ολοκλήρωμα της $$$y e^{- x}$$$ ως προς $$$x$$$

Βρείτε $$$\int y e^{- x}\, dx$$$.

Εφαρμόστε τον κανόνα του σταθερού πολλαπλασίου $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ με $$$c=y$$$ και $$$f{\left(x \right)} = e^{- x}$$$:

$${\color{red}{\int{y e^{- x} d x}}} = {\color{red}{y \int{e^{- x} d x}}}$$

Έστω $$$u=- x$$$.

Τότε $$$du=\left(- x\right)^{\prime }dx = - dx$$$ (τα βήματα παρουσιάζονται »), και έχουμε ότι $$$dx = - du$$$.

Επομένως,

$$y {\color{red}{\int{e^{- x} d x}}} = y {\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}}$$

Εφαρμόστε τον κανόνα του σταθερού πολλαπλασίου $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ με $$$c=-1$$$ και $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$:

$$y {\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}} = y {\color{red}{\left(- \int{e^{u} d u}\right)}}$$

Το ολοκλήρωμα της εκθετικής συνάρτησης είναι $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$- y {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = - y {\color{red}{e^{u}}}$$

Θυμηθείτε ότι $$$u=- x$$$:

$$- y e^{{\color{red}{u}}} = - y e^{{\color{red}{\left(- x\right)}}}$$

Επομένως,

$$\int{y e^{- x} d x} = - y e^{- x}$$

Προσθέστε τη σταθερά ολοκλήρωσης:

$$\int{y e^{- x} d x} = - y e^{- x}+C$$

$$$\int y e^{- x}\, dx = - y e^{- x} + C$$$A