$$$e^{- \frac{y}{t}}$$$ 关于$$$y$$$的积分

求$$$\int e^{- \frac{y}{t}}\, dy$$$。

设$$$u=- \frac{y}{t}$$$。

则$$$du=\left(- \frac{y}{t}\right)^{\prime }dy = - \frac{1}{t} dy$$$ (步骤见»)，并有$$$dy = - t du$$$。

因此，

$${\color{red}{\int{e^{- \frac{y}{t}} d y}}} = {\color{red}{\int{\left(- t e^{u}\right)d u}}}$$

对 $$$c=- t$$$ 和 $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ 应用常数倍法则 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$：

$${\color{red}{\int{\left(- t e^{u}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- t \int{e^{u} d u}\right)}}$$

指数函数的积分为 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$：

$$- t {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = - t {\color{red}{e^{u}}}$$

回忆一下 $$$u=- \frac{y}{t}$$$:

$$- t e^{{\color{red}{u}}} = - t e^{{\color{red}{\left(- \frac{y}{t}\right)}}}$$

因此，

$$\int{e^{- \frac{y}{t}} d y} = - t e^{- \frac{y}{t}}$$

加上积分常数：

$$\int{e^{- \frac{y}{t}} d y} = - t e^{- \frac{y}{t}}+C$$

$$$\int e^{- \frac{y}{t}}\, dy = - t e^{- \frac{y}{t}} + C$$$A