Intégrale de $$$e^{- \frac{y}{t}}$$$ par rapport à $$$y$$$

Déterminez $$$\int e^{- \frac{y}{t}}\, dy$$$.

Soit $$$u=- \frac{y}{t}$$$.

Alors $$$du=\left(- \frac{y}{t}\right)^{\prime }dy = - \frac{1}{t} dy$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$dy = - t du$$$.

L’intégrale peut être réécrite sous la forme

$${\color{red}{\int{e^{- \frac{y}{t}} d y}}} = {\color{red}{\int{\left(- t e^{u}\right)d u}}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ avec $$$c=- t$$$ et $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ :

$${\color{red}{\int{\left(- t e^{u}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- t \int{e^{u} d u}\right)}}$$

L'intégrale de la fonction exponentielle vaut $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$ :

$$- t {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = - t {\color{red}{e^{u}}}$$

Rappelons que $$$u=- \frac{y}{t}$$$ :

$$- t e^{{\color{red}{u}}} = - t e^{{\color{red}{\left(- \frac{y}{t}\right)}}}$$

Par conséquent,

$$\int{e^{- \frac{y}{t}} d y} = - t e^{- \frac{y}{t}}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{e^{- \frac{y}{t}} d y} = - t e^{- \frac{y}{t}}+C$$

$$$\int e^{- \frac{y}{t}}\, dy = - t e^{- \frac{y}{t}} + C$$$A