$$$e^{- \frac{y}{t}}$$$ の $$$y$$$ に関する積分

$$$\int e^{- \frac{y}{t}}\, dy$$$ を求めよ。

$$$u=- \frac{y}{t}$$$ とする。

すると $$$du=\left(- \frac{y}{t}\right)^{\prime }dy = - \frac{1}{t} dy$$$（手順は»で確認できます）、$$$dy = - t du$$$ となります。

この積分は次のように書き換えられる

$${\color{red}{\int{e^{- \frac{y}{t}} d y}}} = {\color{red}{\int{\left(- t e^{u}\right)d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=- t$$$ と $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\left(- t e^{u}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- t \int{e^{u} d u}\right)}}$$

指数関数の積分は $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$です:

$$- t {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = - t {\color{red}{e^{u}}}$$

次のことを思い出してください $$$u=- \frac{y}{t}$$$:

$$- t e^{{\color{red}{u}}} = - t e^{{\color{red}{\left(- \frac{y}{t}\right)}}}$$

したがって、

$$\int{e^{- \frac{y}{t}} d y} = - t e^{- \frac{y}{t}}$$

積分定数を加える:

$$\int{e^{- \frac{y}{t}} d y} = - t e^{- \frac{y}{t}}+C$$

$$$\int e^{- \frac{y}{t}}\, dy = - t e^{- \frac{y}{t}} + C$$$A