$$$a^{2} - x^{2}$$$ 关于$$$x$$$的积分

求$$$\int \left(a^{2} - x^{2}\right)\, dx$$$。

逐项积分：

$${\color{red}{\int{\left(a^{2} - x^{2}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(\int{a^{2} d x} - \int{x^{2} d x}\right)}}$$

应用常数法则 $$$\int c\, dx = c x$$$，使用 $$$c=a^{2}$$$：

$$- \int{x^{2} d x} + {\color{red}{\int{a^{2} d x}}} = - \int{x^{2} d x} + {\color{red}{a^{2} x}}$$

应用幂法则 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，其中 $$$n=2$$$：

$$a^{2} x - {\color{red}{\int{x^{2} d x}}}=a^{2} x - {\color{red}{\frac{x^{1 + 2}}{1 + 2}}}=a^{2} x - {\color{red}{\left(\frac{x^{3}}{3}\right)}}$$

因此，

$$\int{\left(a^{2} - x^{2}\right)d x} = a^{2} x - \frac{x^{3}}{3}$$

化简：

$$\int{\left(a^{2} - x^{2}\right)d x} = x \left(a^{2} - \frac{x^{2}}{3}\right)$$

加上积分常数：

$$\int{\left(a^{2} - x^{2}\right)d x} = x \left(a^{2} - \frac{x^{2}}{3}\right)+C$$

$$$\int \left(a^{2} - x^{2}\right)\, dx = x \left(a^{2} - \frac{x^{2}}{3}\right) + C$$$A