$$$a^{2} - x^{2}$$$ 對 $$$x$$$ 的積分

求$$$\int \left(a^{2} - x^{2}\right)\, dx$$$。

逐項積分：

$${\color{red}{\int{\left(a^{2} - x^{2}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(\int{a^{2} d x} - \int{x^{2} d x}\right)}}$$

配合 $$$c=a^{2}$$$，應用常數法則 $$$\int c\, dx = c x$$$：

$$- \int{x^{2} d x} + {\color{red}{\int{a^{2} d x}}} = - \int{x^{2} d x} + {\color{red}{a^{2} x}}$$

套用冪次法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$，以 $$$n=2$$$：

$$a^{2} x - {\color{red}{\int{x^{2} d x}}}=a^{2} x - {\color{red}{\frac{x^{1 + 2}}{1 + 2}}}=a^{2} x - {\color{red}{\left(\frac{x^{3}}{3}\right)}}$$

因此，

$$\int{\left(a^{2} - x^{2}\right)d x} = a^{2} x - \frac{x^{3}}{3}$$

化簡：

$$\int{\left(a^{2} - x^{2}\right)d x} = x \left(a^{2} - \frac{x^{2}}{3}\right)$$

加上積分常數：

$$\int{\left(a^{2} - x^{2}\right)d x} = x \left(a^{2} - \frac{x^{2}}{3}\right)+C$$

$$$\int \left(a^{2} - x^{2}\right)\, dx = x \left(a^{2} - \frac{x^{2}}{3}\right) + C$$$A