$$$a^{2} - x^{2}$$$ の $$$x$$$ に関する積分

$$$\int \left(a^{2} - x^{2}\right)\, dx$$$ を求めよ。

項別に積分せよ:

$${\color{red}{\int{\left(a^{2} - x^{2}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(\int{a^{2} d x} - \int{x^{2} d x}\right)}}$$

$$$c=a^{2}$$$ に対して定数則 $$$\int c\, dx = c x$$$ を適用する:

$$- \int{x^{2} d x} + {\color{red}{\int{a^{2} d x}}} = - \int{x^{2} d x} + {\color{red}{a^{2} x}}$$

$$$n=2$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:

$$a^{2} x - {\color{red}{\int{x^{2} d x}}}=a^{2} x - {\color{red}{\frac{x^{1 + 2}}{1 + 2}}}=a^{2} x - {\color{red}{\left(\frac{x^{3}}{3}\right)}}$$

したがって、

$$\int{\left(a^{2} - x^{2}\right)d x} = a^{2} x - \frac{x^{3}}{3}$$

簡単化せよ:

$$\int{\left(a^{2} - x^{2}\right)d x} = x \left(a^{2} - \frac{x^{2}}{3}\right)$$

積分定数を加える:

$$\int{\left(a^{2} - x^{2}\right)d x} = x \left(a^{2} - \frac{x^{2}}{3}\right)+C$$

$$$\int \left(a^{2} - x^{2}\right)\, dx = x \left(a^{2} - \frac{x^{2}}{3}\right) + C$$$A