|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
$$$x^{4} \cos{\left(x \right)}$$$'in türevi
İlgili hesap makinesi: Türev Hesaplayıcı
Girdiniz
Bulun: $$$\frac{d}{dx} \left(x^{4} \cos{\left(x \right)}\right)$$$.
Çözüm
$$$H{\left(x \right)} = x^{4} \cos{\left(x \right)}$$$ olsun.
Her iki tarafın logaritmasını alın: $$$\ln\left(H{\left(x \right)}\right) = \ln\left(x^{4} \cos{\left(x \right)}\right)$$$.
Logaritmaların özelliklerini kullanarak eşitliğin sağ tarafını yeniden yazın: $$$\ln\left(H{\left(x \right)}\right) = 4 \ln\left(x\right) + \ln\left(\cos{\left(x \right)}\right)$$$.
Denklemin her iki tarafının türevini ayrı ayrı alın: $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(H{\left(x \right)}\right)\right) = \frac{d}{dx} \left(4 \ln\left(x\right) + \ln\left(\cos{\left(x \right)}\right)\right)$$$.
Denklemin sol tarafının türevini alın.
$$$\ln\left(H{\left(x \right)}\right)$$$ fonksiyonu, iki fonksiyon $$$f{\left(u \right)} = \ln\left(u\right)$$$ ve $$$g{\left(x \right)} = H{\left(x \right)}$$$'nin $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ bileşimidir.
Zincir kuralını $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$ uygulayın:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\ln\left(H{\left(x \right)}\right)\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) \frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)\right)}$$Doğal logaritmanın türevi $$$\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) = \frac{1}{u}$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right) = {\color{red}\left(\frac{1}{u}\right)} \frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)$$Eski değişkene geri dön:
$$\frac{\frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)}{{\color{red}\left(u\right)}} = \frac{\frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)}{{\color{red}\left(H{\left(x \right)}\right)}}$$Dolayısıyla, $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(H{\left(x \right)}\right)\right) = \frac{\frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)}{H{\left(x \right)}}$$$.
Denklemin sağ tarafının türevini alın.
Toplamın/farkın türevi, türevlerin toplamı/farkıdır:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(4 \ln\left(x\right) + \ln\left(\cos{\left(x \right)}\right)\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(4 \ln\left(x\right)\right) + \frac{d}{dx} \left(\ln\left(\cos{\left(x \right)}\right)\right)\right)}$$$$$\ln\left(\cos{\left(x \right)}\right)$$$ fonksiyonu, iki fonksiyon $$$f{\left(u \right)} = \ln\left(u\right)$$$ ve $$$g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$$$'nin $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ bileşimidir.
Zincir kuralını $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$ uygulayın:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\ln\left(\cos{\left(x \right)}\right)\right)\right)} + \frac{d}{dx} \left(4 \ln\left(x\right)\right) = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) \frac{d}{dx} \left(\cos{\left(x \right)}\right)\right)} + \frac{d}{dx} \left(4 \ln\left(x\right)\right)$$Doğal logaritmanın türevi $$$\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) = \frac{1}{u}$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(\cos{\left(x \right)}\right) + \frac{d}{dx} \left(4 \ln\left(x\right)\right) = {\color{red}\left(\frac{1}{u}\right)} \frac{d}{dx} \left(\cos{\left(x \right)}\right) + \frac{d}{dx} \left(4 \ln\left(x\right)\right)$$Eski değişkene geri dön:
$$\frac{d}{dx} \left(4 \ln\left(x\right)\right) + \frac{\frac{d}{dx} \left(\cos{\left(x \right)}\right)}{{\color{red}\left(u\right)}} = \frac{d}{dx} \left(4 \ln\left(x\right)\right) + \frac{\frac{d}{dx} \left(\cos{\left(x \right)}\right)}{{\color{red}\left(\cos{\left(x \right)}\right)}}$$Kosinüsün türevi $$$\frac{d}{dx} \left(\cos{\left(x \right)}\right) = - \sin{\left(x \right)}$$$:
$$\frac{d}{dx} \left(4 \ln\left(x\right)\right) + \frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\cos{\left(x \right)}\right)\right)}}{\cos{\left(x \right)}} = \frac{d}{dx} \left(4 \ln\left(x\right)\right) + \frac{{\color{red}\left(- \sin{\left(x \right)}\right)}}{\cos{\left(x \right)}}$$Sabit çarpan kuralını $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$ $$$c = 4$$$ ve $$$f{\left(x \right)} = \ln\left(x\right)$$$ ile uygula:
$$- \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} + {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(4 \ln\left(x\right)\right)\right)} = - \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} + {\color{red}\left(4 \frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right)\right)}$$Doğal logaritmanın türevi $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right) = \frac{1}{x}$$$:
$$- \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} + 4 {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right)\right)} = - \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} + 4 {\color{red}\left(\frac{1}{x}\right)}$$Sadeleştirin:
$$- \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} + \frac{4}{x} = - \tan{\left(x \right)} + \frac{4}{x}$$Dolayısıyla, $$$\frac{d}{dx} \left(4 \ln\left(x\right) + \ln\left(\cos{\left(x \right)}\right)\right) = - \tan{\left(x \right)} + \frac{4}{x}$$$.
Dolayısıyla, $$$\frac{\frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)}{H{\left(x \right)}} = - \tan{\left(x \right)} + \frac{4}{x}$$$.
Dolayısıyla, $$$\frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right) = \left(- \tan{\left(x \right)} + \frac{4}{x}\right) H{\left(x \right)} = x^{3} \left(- x \tan{\left(x \right)} + 4\right) \cos{\left(x \right)}$$$.
Cevap
$$$\frac{d}{dx} \left(x^{4} \cos{\left(x \right)}\right) = x^{3} \left(- x \tan{\left(x \right)} + 4\right) \cos{\left(x \right)}$$$A