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Dérivée de $$$x^{4} \cos{\left(x \right)}$$$
Calculatrice associée: Calculatrice de dérivées
Votre saisie
Déterminez $$$\frac{d}{dx} \left(x^{4} \cos{\left(x \right)}\right)$$$.
Solution
Soit $$$H{\left(x \right)} = x^{4} \cos{\left(x \right)}$$$.
Prenez le logarithme des deux membres : $$$\ln\left(H{\left(x \right)}\right) = \ln\left(x^{4} \cos{\left(x \right)}\right)$$$.
Réécrivez le second membre en utilisant les propriétés des logarithmes : $$$\ln\left(H{\left(x \right)}\right) = 4 \ln\left(x\right) + \ln\left(\cos{\left(x \right)}\right)$$$
Dérivez séparément les deux membres de l’équation : $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(H{\left(x \right)}\right)\right) = \frac{d}{dx} \left(4 \ln\left(x\right) + \ln\left(\cos{\left(x \right)}\right)\right)$$$.
Dérivez le membre gauche de l’équation.
La fonction $$$\ln\left(H{\left(x \right)}\right)$$$ est la composée $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ de deux fonctions $$$f{\left(u \right)} = \ln\left(u\right)$$$ et $$$g{\left(x \right)} = H{\left(x \right)}$$$.
Appliquez la règle de la chaîne $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\ln\left(H{\left(x \right)}\right)\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) \frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)\right)}$$La dérivée du logarithme naturel est $$$\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) = \frac{1}{u}$$$ :
$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right) = {\color{red}\left(\frac{1}{u}\right)} \frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)$$Revenir à la variable initiale:
$$\frac{\frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)}{{\color{red}\left(u\right)}} = \frac{\frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)}{{\color{red}\left(H{\left(x \right)}\right)}}$$Ainsi, $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(H{\left(x \right)}\right)\right) = \frac{\frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)}{H{\left(x \right)}}$$$.
Dérivez le membre de droite de l’équation.
La dérivée d'une somme/différence est la somme/différence des dérivées :
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(4 \ln\left(x\right) + \ln\left(\cos{\left(x \right)}\right)\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(4 \ln\left(x\right)\right) + \frac{d}{dx} \left(\ln\left(\cos{\left(x \right)}\right)\right)\right)}$$La fonction $$$\ln\left(\cos{\left(x \right)}\right)$$$ est la composée $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ de deux fonctions $$$f{\left(u \right)} = \ln\left(u\right)$$$ et $$$g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$$$.
Appliquez la règle de la chaîne $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\ln\left(\cos{\left(x \right)}\right)\right)\right)} + \frac{d}{dx} \left(4 \ln\left(x\right)\right) = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) \frac{d}{dx} \left(\cos{\left(x \right)}\right)\right)} + \frac{d}{dx} \left(4 \ln\left(x\right)\right)$$La dérivée du logarithme naturel est $$$\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) = \frac{1}{u}$$$ :
$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(\cos{\left(x \right)}\right) + \frac{d}{dx} \left(4 \ln\left(x\right)\right) = {\color{red}\left(\frac{1}{u}\right)} \frac{d}{dx} \left(\cos{\left(x \right)}\right) + \frac{d}{dx} \left(4 \ln\left(x\right)\right)$$Revenir à la variable initiale:
$$\frac{d}{dx} \left(4 \ln\left(x\right)\right) + \frac{\frac{d}{dx} \left(\cos{\left(x \right)}\right)}{{\color{red}\left(u\right)}} = \frac{d}{dx} \left(4 \ln\left(x\right)\right) + \frac{\frac{d}{dx} \left(\cos{\left(x \right)}\right)}{{\color{red}\left(\cos{\left(x \right)}\right)}}$$La dérivée du cosinus est $$$\frac{d}{dx} \left(\cos{\left(x \right)}\right) = - \sin{\left(x \right)}$$$ :
$$\frac{d}{dx} \left(4 \ln\left(x\right)\right) + \frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\cos{\left(x \right)}\right)\right)}}{\cos{\left(x \right)}} = \frac{d}{dx} \left(4 \ln\left(x\right)\right) + \frac{{\color{red}\left(- \sin{\left(x \right)}\right)}}{\cos{\left(x \right)}}$$Appliquez la règle du facteur constant $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$ avec $$$c = 4$$$ et $$$f{\left(x \right)} = \ln\left(x\right)$$$:
$$- \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} + {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(4 \ln\left(x\right)\right)\right)} = - \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} + {\color{red}\left(4 \frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right)\right)}$$La dérivée du logarithme naturel est $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right) = \frac{1}{x}$$$ :
$$- \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} + 4 {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right)\right)} = - \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} + 4 {\color{red}\left(\frac{1}{x}\right)}$$Simplifier:
$$- \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} + \frac{4}{x} = - \tan{\left(x \right)} + \frac{4}{x}$$Ainsi, $$$\frac{d}{dx} \left(4 \ln\left(x\right) + \ln\left(\cos{\left(x \right)}\right)\right) = - \tan{\left(x \right)} + \frac{4}{x}$$$.
Ainsi, $$$\frac{\frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)}{H{\left(x \right)}} = - \tan{\left(x \right)} + \frac{4}{x}$$$.
Donc, $$$\frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right) = \left(- \tan{\left(x \right)} + \frac{4}{x}\right) H{\left(x \right)} = x^{3} \left(- x \tan{\left(x \right)} + 4\right) \cos{\left(x \right)}$$$.
Réponse
$$$\frac{d}{dx} \left(x^{4} \cos{\left(x \right)}\right) = x^{3} \left(- x \tan{\left(x \right)} + 4\right) \cos{\left(x \right)}$$$A