Integralen av $$$e^{x} - 1$$$

Bestäm $$$\int \left(e^{x} - 1\right)\, dx$$$.

Integrera termvis:

$${\color{red}{\int{\left(e^{x} - 1\right)d x}}} = {\color{red}{\left(- \int{1 d x} + \int{e^{x} d x}\right)}}$$

Tillämpa konstantregeln $$$\int c\, dx = c x$$$ med $$$c=1$$$:

$$\int{e^{x} d x} - {\color{red}{\int{1 d x}}} = \int{e^{x} d x} - {\color{red}{x}}$$

Integralen av den exponentiella funktionen är $$$\int{e^{x} d x} = e^{x}$$$:

$$- x + {\color{red}{\int{e^{x} d x}}} = - x + {\color{red}{e^{x}}}$$

Alltså,

$$\int{\left(e^{x} - 1\right)d x} = - x + e^{x}$$

Lägg till integrationskonstanten:

$$\int{\left(e^{x} - 1\right)d x} = - x + e^{x}+C$$

$$$\int \left(e^{x} - 1\right)\, dx = \left(- x + e^{x}\right) + C$$$A