|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Derivatan av $$$\ln\left(\frac{1}{x}\right)$$$
Relaterade kalkylatorer: Kalkylator för logaritmisk derivering, Räknare för implicit derivering med steg
Din inmatning
Bestäm $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(\frac{1}{x}\right)\right)$$$.
Lösning
Funktionen $$$\ln\left(\frac{1}{x}\right)$$$ är sammansättningen $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ av två funktioner $$$f{\left(u \right)} = \ln\left(u\right)$$$ och $$$g{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$$$.
Tillämpa kedjeregeln $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$:
$$\frac{d}{dx} \left(- \ln\left(x\right)\right) = \frac{d}{dx} \left(- \ln\left(x\right)\right)$$Derivatan av den naturliga logaritmen är $$$\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) = \frac{1}{u}$$$:
$$\frac{d}{dx} \left(- \ln\left(x\right)\right) = \frac{d}{dx} \left(- \ln\left(x\right)\right)$$Återgå till den ursprungliga variabeln:
$$\frac{d}{dx} \left(- \ln\left(x\right)\right) = \frac{d}{dx} \left(- \ln\left(x\right)\right)$$Tillämpa konstantfaktorregeln $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$ med $$$c = -1$$$ och $$$f{\left(x \right)} = \ln\left(x\right)$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(- \ln\left(x\right)\right)\right)} = {\color{red}\left(- \frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right)\right)}$$Derivatan av den naturliga logaritmen är $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right) = \frac{1}{x}$$$:
$$- {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right)\right)} = - {\color{red}\left(\frac{1}{x}\right)}$$Alltså, $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(\frac{1}{x}\right)\right) = - \frac{1}{x}$$$.
Svar
$$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(\frac{1}{x}\right)\right) = - \frac{1}{x}$$$A