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Derivata di $$$\ln\left(\frac{1}{x}\right)$$$
Calcolatrici correlate: Calcolatrice di derivazione logaritmica, Calcolatore di derivazione implicita con passaggi
Il tuo input
Trova $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(\frac{1}{x}\right)\right)$$$.
Soluzione
La funzione $$$\ln\left(\frac{1}{x}\right)$$$ è la composizione $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ di due funzioni $$$f{\left(u \right)} = \ln\left(u\right)$$$ e $$$g{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$$$.
Applica la regola della catena $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$:
$$\frac{d}{dx} \left(- \ln\left(x\right)\right) = \frac{d}{dx} \left(- \ln\left(x\right)\right)$$La derivata del logaritmo naturale è $$$\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) = \frac{1}{u}$$$:
$$\frac{d}{dx} \left(- \ln\left(x\right)\right) = \frac{d}{dx} \left(- \ln\left(x\right)\right)$$Torna alla variabile originale:
$$\frac{d}{dx} \left(- \ln\left(x\right)\right) = \frac{d}{dx} \left(- \ln\left(x\right)\right)$$Applica la regola del multiplo costante $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$ con $$$c = -1$$$ e $$$f{\left(x \right)} = \ln\left(x\right)$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(- \ln\left(x\right)\right)\right)} = {\color{red}\left(- \frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right)\right)}$$La derivata del logaritmo naturale è $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right) = \frac{1}{x}$$$:
$$- {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right)\right)} = - {\color{red}\left(\frac{1}{x}\right)}$$Quindi, $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(\frac{1}{x}\right)\right) = - \frac{1}{x}$$$.
Risposta
$$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(\frac{1}{x}\right)\right) = - \frac{1}{x}$$$A