|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Afgeleide van $$$\ln\left(\frac{1}{x}\right)$$$
Gerelateerde rekenmachines: Rekenmachine voor logaritmisch differentiëren, Rekenmachine voor impliciete differentiatie met stappen
Uw invoer
Bepaal $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(\frac{1}{x}\right)\right)$$$.
Oplossing
De functie $$$\ln\left(\frac{1}{x}\right)$$$ is de samenstelling $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ van twee functies $$$f{\left(u \right)} = \ln\left(u\right)$$$ en $$$g{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$$$.
Pas de kettingregel $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$ toe:
$$\frac{d}{dx} \left(- \ln\left(x\right)\right) = \frac{d}{dx} \left(- \ln\left(x\right)\right)$$De afgeleide van de natuurlijke logaritme is $$$\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) = \frac{1}{u}$$$:
$$\frac{d}{dx} \left(- \ln\left(x\right)\right) = \frac{d}{dx} \left(- \ln\left(x\right)\right)$$Keer terug naar de oorspronkelijke variabele:
$$\frac{d}{dx} \left(- \ln\left(x\right)\right) = \frac{d}{dx} \left(- \ln\left(x\right)\right)$$Pas de regel van de constante factor $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$ toe met $$$c = -1$$$ en $$$f{\left(x \right)} = \ln\left(x\right)$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(- \ln\left(x\right)\right)\right)} = {\color{red}\left(- \frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right)\right)}$$De afgeleide van de natuurlijke logaritme is $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right) = \frac{1}{x}$$$:
$$- {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right)\right)} = - {\color{red}\left(\frac{1}{x}\right)}$$Dus, $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(\frac{1}{x}\right)\right) = - \frac{1}{x}$$$.
Antwoord
$$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(\frac{1}{x}\right)\right) = - \frac{1}{x}$$$A