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Dérivée de $$$\ln\left(\frac{1}{x}\right)$$$
Calculatrices associées: Calculatrice de dérivation logarithmique, Calculatrice de dérivation implicite pas à pas
Votre saisie
Déterminez $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(\frac{1}{x}\right)\right)$$$.
Solution
La fonction $$$\ln\left(\frac{1}{x}\right)$$$ est la composée $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ de deux fonctions $$$f{\left(u \right)} = \ln\left(u\right)$$$ et $$$g{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$$$.
Appliquez la règle de la chaîne $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$:
$$\frac{d}{dx} \left(- \ln\left(x\right)\right) = \frac{d}{dx} \left(- \ln\left(x\right)\right)$$La dérivée du logarithme naturel est $$$\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) = \frac{1}{u}$$$ :
$$\frac{d}{dx} \left(- \ln\left(x\right)\right) = \frac{d}{dx} \left(- \ln\left(x\right)\right)$$Revenir à la variable initiale:
$$\frac{d}{dx} \left(- \ln\left(x\right)\right) = \frac{d}{dx} \left(- \ln\left(x\right)\right)$$Appliquez la règle du facteur constant $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$ avec $$$c = -1$$$ et $$$f{\left(x \right)} = \ln\left(x\right)$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(- \ln\left(x\right)\right)\right)} = {\color{red}\left(- \frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right)\right)}$$La dérivée du logarithme naturel est $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right) = \frac{1}{x}$$$ :
$$- {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right)\right)} = - {\color{red}\left(\frac{1}{x}\right)}$$Ainsi, $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(\frac{1}{x}\right)\right) = - \frac{1}{x}$$$.
Réponse
$$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(\frac{1}{x}\right)\right) = - \frac{1}{x}$$$A