English | Español
  1. Lar
  2. calculadoras
  3. calculadoras: cálculo I
  4. calculadora de cálculo

Derivada de $$$x^{x}$$$

A calculadora encontrará a derivada de $$$x^{x}$$$ usando a diferenciação logarítmica, com as etapas mostradas.

Calculadora relacionada: Calculadora de Derivativos

Deixe em branco para detecção automática.
Deixe em branco se não precisar da derivada em um ponto específico.

Se a calculadora não calculou algo ou você identificou um erro, ou tem uma sugestão/comentário, escreva nos comentários abaixo.

Sua entrada

Encontre $$$\frac{d}{dx} \left(x^{x}\right)$$$.

Solução

Seja $$$H{\left(x \right)} = x^{x}$$$.

Pegue o logaritmo de ambos os lados: $$$\ln\left(H{\left(x \right)}\right) = \ln\left(x^{x}\right)$$$.

Reescreva o RHS usando as propriedades dos logaritmos: $$$\ln\left(H{\left(x \right)}\right) = x \ln\left(x\right)$$$.

Diferencie separadamente os dois lados da equação: $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(H{\left(x \right)}\right)\right) = \frac{d}{dx} \left(x \ln\left(x\right)\right)$$$.

Diferencie o LHS da equação.

A função $$$\ln\left(H{\left(x \right)}\right)$$$ é a composição $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ de duas funções $$$f{\left(u \right)} = \ln\left(u\right)$$$ e $$$g{\left(x \right)} = H{\left(x \right)}$$$.

Aplique a regra da cadeia $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$:

$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\ln\left(H{\left(x \right)}\right)\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) \frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)\right)}$$

A derivada do logaritmo natural é $$$\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) = \frac{1}{u}$$$:

$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right) = {\color{red}\left(\frac{1}{u}\right)} \frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)$$

Volte para a variável antiga:

$$\frac{\frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)}{{\color{red}\left(u\right)}} = \frac{\frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)}{{\color{red}\left(H{\left(x \right)}\right)}}$$

Assim, $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(H{\left(x \right)}\right)\right) = \frac{\frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)}{H{\left(x \right)}}$$$.

Diferencie o RHS da equação.

Aplique a regra do produto $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)} g{\left(x \right)}\right) = \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right) g{\left(x \right)} + f{\left(x \right)} \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$ com $$$f{\left(x \right)} = x$$$ e $$$g{\left(x \right)} = \ln\left(x\right)$$$:

$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x \ln\left(x\right)\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right) \ln\left(x\right) + x \frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right)\right)}$$

Aplique a regra de potência $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ com $$$n = 1$$$, ou seja, $$$\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1$$$:

$$x \frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right) + \ln\left(x\right) {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right)\right)} = x \frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right) + \ln\left(x\right) {\color{red}\left(1\right)}$$

A derivada do logaritmo natural é $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right) = \frac{1}{x}$$$:

$$x {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right)\right)} + \ln\left(x\right) = x {\color{red}\left(\frac{1}{x}\right)} + \ln\left(x\right)$$

Assim, $$$\frac{d}{dx} \left(x \ln\left(x\right)\right) = \ln\left(x\right) + 1$$$.

Portanto, $$$\frac{\frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)}{H{\left(x \right)}} = \ln\left(x\right) + 1$$$.

Portanto, $$$\frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right) = \left(\ln\left(x\right) + 1\right) H{\left(x \right)} = x^{x} \left(\ln\left(x\right) + 1\right)$$$.

Responder

$$$\frac{d}{dx} \left(x^{x}\right) = x^{x} \left(\ln\left(x\right) + 1\right)$$$A

Nota Relacionada: Logarithmic Differentiation