$$$x^{x}$$$的导数

求$$$\frac{d}{dx} \left(x^{x}\right)$$$。

设$$$H{\left(x \right)} = x^{x}$$$。

对等式两边取对数：$$$\ln\left(H{\left(x \right)}\right) = \ln\left(x^{x}\right)$$$。

利用对数的性质改写等式右边：$$$\ln\left(H{\left(x \right)}\right) = x \ln\left(x\right)$$$。

分别对方程两边求导：$$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(H{\left(x \right)}\right)\right) = \frac{d}{dx} \left(x \ln\left(x\right)\right)$$$。

对方程的左边求导。

函数$$$\ln\left(H{\left(x \right)}\right)$$$是两个函数$$$f{\left(u \right)} = \ln\left(u\right)$$$和$$$g{\left(x \right)} = H{\left(x \right)}$$$的复合$$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$。

应用链式法则 $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$：

自然对数的导数为 $$$\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) = \frac{1}{u}$$$：

返回到原变量：

因此，$$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(H{\left(x \right)}\right)\right) = \frac{\frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)}{H{\left(x \right)}}$$$。

对等式右边求导。

对 $$$f{\left(x \right)} = x$$$ 和 $$$g{\left(x \right)} = \ln\left(x\right)$$$ 应用乘积法则 $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)} g{\left(x \right)}\right) = \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right) g{\left(x \right)} + f{\left(x \right)} \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$:

自然对数的导数为 $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right) = \frac{1}{x}$$$：

应用幂法则 $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$，取 $$$n = 1$$$，也就是说，$$$\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1$$$：

因此，$$$\frac{d}{dx} \left(x \ln\left(x\right)\right) = \ln\left(x\right) + 1$$$。

因此，$$$\frac{\frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)}{H{\left(x \right)}} = \ln\left(x\right) + 1$$$。

因此，$$$\frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right) = \left(\ln\left(x\right) + 1\right) H{\left(x \right)} = x^{x} \left(\ln\left(x\right) + 1\right)$$$。

$$$\frac{d}{dx} \left(x^{x}\right) = x^{x} \left(\ln\left(x\right) + 1\right)$$$A