|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Παράγωγος της $$$x^{x}$$$
Σχετικός υπολογιστής: Υπολογιστής Παραγώγου
Η είσοδός σας
Βρείτε $$$\frac{d}{dx} \left(x^{x}\right)$$$.
Λύση
Έστω $$$H{\left(x \right)} = x^{x}$$$.
Πάρτε τον λογάριθμο και στα δύο μέλη: $$$\ln\left(H{\left(x \right)}\right) = \ln\left(x^{x}\right)$$$.
Ξαναγράψτε το δεξί μέλος χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των λογαρίθμων: $$$\ln\left(H{\left(x \right)}\right) = x \ln\left(x\right)$$$.
Παραγώγισε χωριστά και τα δύο μέλη της εξίσωσης: $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(H{\left(x \right)}\right)\right) = \frac{d}{dx} \left(x \ln\left(x\right)\right)$$$.
Υπολογίστε την παράγωγο του αριστερού μέλους της εξίσωσης.
Η συνάρτηση $$$\ln\left(H{\left(x \right)}\right)$$$ είναι η σύνθεση $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ των δύο συναρτήσεων $$$f{\left(u \right)} = \ln\left(u\right)$$$ και $$$g{\left(x \right)} = H{\left(x \right)}$$$.
Εφαρμόστε τον κανόνα της αλυσίδας $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\ln\left(H{\left(x \right)}\right)\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) \frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)\right)}$$Η παράγωγος του φυσικού λογαρίθμου είναι $$$\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) = \frac{1}{u}$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right) = {\color{red}\left(\frac{1}{u}\right)} \frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)$$Επιστροφή στην αρχική μεταβλητή:
$$\frac{\frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)}{{\color{red}\left(u\right)}} = \frac{\frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)}{{\color{red}\left(H{\left(x \right)}\right)}}$$Άρα, $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(H{\left(x \right)}\right)\right) = \frac{\frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)}{H{\left(x \right)}}$$$.
Παραγώγισε το δεξί μέλος της εξίσωσης.
Εφαρμόστε τον κανόνα του γινομένου $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)} g{\left(x \right)}\right) = \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right) g{\left(x \right)} + f{\left(x \right)} \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$ με $$$f{\left(x \right)} = x$$$ και $$$g{\left(x \right)} = \ln\left(x\right)$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x \ln\left(x\right)\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right) \ln\left(x\right) + x \frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right)\right)}$$Η παράγωγος του φυσικού λογαρίθμου είναι $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right) = \frac{1}{x}$$$:
$$x {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right)\right)} + \ln\left(x\right) \frac{d}{dx} \left(x\right) = x {\color{red}\left(\frac{1}{x}\right)} + \ln\left(x\right) \frac{d}{dx} \left(x\right)$$Εφαρμόστε τον κανόνα δύναμης $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ με $$$n = 1$$$, δηλαδή $$$\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1$$$:
$$\ln\left(x\right) {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right)\right)} + 1 = \ln\left(x\right) {\color{red}\left(1\right)} + 1$$Άρα, $$$\frac{d}{dx} \left(x \ln\left(x\right)\right) = \ln\left(x\right) + 1$$$.
Συνεπώς, $$$\frac{\frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right)}{H{\left(x \right)}} = \ln\left(x\right) + 1$$$.
Επομένως, $$$\frac{d}{dx} \left(H{\left(x \right)}\right) = \left(\ln\left(x\right) + 1\right) H{\left(x \right)} = x^{x} \left(\ln\left(x\right) + 1\right)$$$.
Απάντηση
$$$\frac{d}{dx} \left(x^{x}\right) = x^{x} \left(\ln\left(x\right) + 1\right)$$$A