|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Derivada de $$$e^{\frac{x}{2}}$$$
Calculadoras relacionadas: Calculadora de Derivação Logarítmica, Calculadora de Diferenciação Implícita com Passos
Sua entrada
Encontre $$$\frac{d}{dx} \left(e^{\frac{x}{2}}\right)$$$.
Solução
A função $$$e^{\frac{x}{2}}$$$ é a composição $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ de duas funções $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ e $$$g{\left(x \right)} = \frac{x}{2}$$$.
Aplique a regra da cadeia $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(e^{\frac{x}{2}}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(e^{u}\right) \frac{d}{dx} \left(\frac{x}{2}\right)\right)}$$A derivada da função exponencial é $$$\frac{d}{du} \left(e^{u}\right) = e^{u}$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(e^{u}\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(\frac{x}{2}\right) = {\color{red}\left(e^{u}\right)} \frac{d}{dx} \left(\frac{x}{2}\right)$$Retorne à variável original:
$$e^{{\color{red}\left(u\right)}} \frac{d}{dx} \left(\frac{x}{2}\right) = e^{{\color{red}\left(\frac{x}{2}\right)}} \frac{d}{dx} \left(\frac{x}{2}\right)$$Aplique a regra da constante multiplicativa $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$ com $$$c = \frac{1}{2}$$$ e $$$f{\left(x \right)} = x$$$:
$$e^{\frac{x}{2}} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\frac{x}{2}\right)\right)} = e^{\frac{x}{2}} {\color{red}\left(\frac{\frac{d}{dx} \left(x\right)}{2}\right)}$$Aplique a regra da potência $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ com $$$n = 1$$$, em outras palavras, $$$\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1$$$:
$$\frac{e^{\frac{x}{2}} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right)\right)}}{2} = \frac{e^{\frac{x}{2}} {\color{red}\left(1\right)}}{2}$$Logo, $$$\frac{d}{dx} \left(e^{\frac{x}{2}}\right) = \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$$$.
Resposta
$$$\frac{d}{dx} \left(e^{\frac{x}{2}}\right) = \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$$$A