Propriedades da hipérbole $$$- 16 x^{2} + 9 y^{2} = 144$$$

Encontre o centro, os focos, os vértices, os co-vértices, o comprimento do eixo maior, o comprimento do semi-eixo maior, o comprimento do eixo menor, o comprimento do semi-eixo menor, os latera recta, o comprimento dos latera recta (largura focal), o parâmetro focal, a excentricidade, a excentricidade linear (distância focal), as diretrizes, as assíntotas, os interceptos em x, os interceptos em y, o domínio e a imagem da hipérbole $$$- 16 x^{2} + 9 y^{2} = 144$$$.

A equação de uma hipérbole é $$$\frac{\left(y - k\right)^{2}}{b^{2}} - \frac{\left(x - h\right)^{2}}{a^{2}} = 1$$$, em que $$$\left(h, k\right)$$$ é o centro e $$$a$$$ e $$$b$$$ são os comprimentos dos semi-eixos transverso e conjugado.

Nossa hipérbole nesta forma é $$$\frac{\left(y - 0\right)^{2}}{16} - \frac{\left(x - 0\right)^{2}}{9} = 1$$$.

Assim, $$$h = 0$$$, $$$k = 0$$$, $$$a = 3$$$, $$$b = 4$$$.

A forma padrão é $$$\frac{y^{2}}{4^{2}} - \frac{x^{2}}{3^{2}} = 1$$$.

A forma de vértice é $$$\frac{y^{2}}{16} - \frac{x^{2}}{9} = 1$$$.

A forma geral é $$$16 x^{2} - 9 y^{2} + 144 = 0$$$.

A excentricidade linear (distância focal) é $$$c = \sqrt{b^{2} + a^{2}} = 5$$$.

A excentricidade é $$$e = \frac{c}{b} = \frac{5}{4}$$$.

O primeiro foco é $$$\left(h, k - c\right) = \left(0, -5\right)$$$.

O segundo foco é $$$\left(h, k + c\right) = \left(0, 5\right)$$$.

O primeiro vértice é $$$\left(h, k - b\right) = \left(0, -4\right)$$$.

O segundo vértice é $$$\left(h, k + b\right) = \left(0, 4\right)$$$.

O primeiro co-vértice é $$$\left(h - a, k\right) = \left(-3, 0\right)$$$.

O segundo co-vértice é $$$\left(h + a, k\right) = \left(3, 0\right)$$$.

O comprimento do eixo maior é $$$2 b = 8$$$.

O comprimento do eixo menor é $$$2 a = 6$$$.

O parâmetro focal é a distância entre o foco e a diretriz: $$$\frac{a^{2}}{c} = \frac{9}{5}$$$.

Os latera recta são as retas paralelas ao eixo menor que passam pelos focos.

O primeiro lado reto é $$$y = -5$$$.

O segundo lado reto é $$$y = 5$$$.

As extremidades do primeiro lado reto podem ser encontradas resolvendo o sistema $$$\begin{cases} 16 x^{2} - 9 y^{2} + 144 = 0 \\ y = -5 \end{cases}$$$ (para ver as etapas, consulte calculadora de sistemas de equações).

As extremidades do primeiro lado reto são $$$\left(- \frac{9}{4}, -5\right)$$$, $$$\left(\frac{9}{4}, -5\right)$$$.

As extremidades do segundo lado reto podem ser encontradas resolvendo o sistema $$$\begin{cases} 16 x^{2} - 9 y^{2} + 144 = 0 \\ y = 5 \end{cases}$$$ (para ver os passos, veja calculadora de sistemas de equações).

Os extremos do segundo lado reto são $$$\left(- \frac{9}{4}, 5\right)$$$, $$$\left(\frac{9}{4}, 5\right)$$$.

O comprimento dos lados retos (largura focal) é $$$\frac{2 a^{2}}{b} = \frac{9}{2}$$$.

A primeira diretriz é $$$y = k - \frac{b^{2}}{c} = - \frac{16}{5}$$$.

A segunda diretriz é $$$y = k + \frac{b^{2}}{c} = \frac{16}{5}$$$.

A primeira assíntota é $$$y = - \frac{b}{a} \left(x - h\right) + k = - \frac{4 x}{3}$$$.

A segunda assíntota é $$$y = \frac{b}{a} \left(x - h\right) + k = \frac{4 x}{3}$$$.

Os interceptos em x podem ser encontrados definindo $$$y = 0$$$ na equação e resolvendo em relação a $$$x$$$ (para as etapas, consulte calculadora de interceptos).

Como não há soluções reais, não há interceptos no eixo x.

As interseções com o eixo y podem ser encontradas definindo $$$x = 0$$$ na equação e resolvendo para $$$y$$$: (para os passos, veja calculadora de interceptos).

interseções com o eixo y: $$$\left(0, -4\right)$$$, $$$\left(0, 4\right)$$$

Forma padrão/equação: $$$\frac{y^{2}}{4^{2}} - \frac{x^{2}}{3^{2}} = 1$$$A.

Forma/equação de vértice: $$$\frac{y^{2}}{16} - \frac{x^{2}}{9} = 1$$$A.

Forma/equação geral: $$$16 x^{2} - 9 y^{2} + 144 = 0$$$A.

Primeira forma/equação foco-diretriz: $$$x^{2} + \left(y + 5\right)^{2} = \frac{25 \left(y + \frac{16}{5}\right)^{2}}{16}$$$A.

Segunda forma/equação foco-diretriz: $$$x^{2} + \left(y - 5\right)^{2} = \frac{25 \left(y - \frac{16}{5}\right)^{2}}{16}$$$A.

Gráfico: veja a calculadora gráfica.

Centro: $$$\left(0, 0\right)$$$A.

Primeiro foco: $$$\left(0, -5\right)$$$A.

Segundo foco: $$$\left(0, 5\right)$$$A.

Primeiro vértice: $$$\left(0, -4\right)$$$A.

Segundo vértice: $$$\left(0, 4\right)$$$A.

Primeiro co-vértice: $$$\left(-3, 0\right)$$$A.

Segundo co-vértice: $$$\left(3, 0\right)$$$A.

Comprimento do eixo maior (transverso): $$$8$$$A.

Comprimento do semieixo maior: $$$4$$$A.

Comprimento do eixo menor (conjugado): $$$6$$$A.

Comprimento do semieixo menor: $$$3$$$A.

Primeiro lado reto: $$$y = -5$$$A.

Segundo lado reto: $$$y = 5$$$A.

Extremidades do primeiro lado reto: $$$\left(- \frac{9}{4}, -5\right) = \left(-2.25, -5\right)$$$, $$$\left(\frac{9}{4}, -5\right) = \left(2.25, -5\right)$$$A.

Extremidades do segundo lado reto: $$$\left(- \frac{9}{4}, 5\right) = \left(-2.25, 5\right)$$$, $$$\left(\frac{9}{4}, 5\right) = \left(2.25, 5\right)$$$A.

Comprimento dos lados retos (largura focal): $$$\frac{9}{2} = 4.5$$$A.

Parâmetro focal: $$$\frac{9}{5} = 1.8$$$A.

Excentricidade: $$$\frac{5}{4} = 1.25$$$A.

Excentricidade linear (distância focal): $$$5$$$A.

Primeira diretriz: $$$y = - \frac{16}{5} = -3.2$$$A.

Segunda diretriz: $$$y = \frac{16}{5} = 3.2$$$A.

Primeira assíntota: $$$y = - \frac{4 x}{3}\approx - 1.333333333333333 x$$$A.

Segunda assíntota: $$$y = \frac{4 x}{3}\approx 1.333333333333333 x$$$A.

Interseções com o eixo x: sem interceptos no eixo x.

interseções com o eixo y: $$$\left(0, -4\right)$$$, $$$\left(0, 4\right)$$$A.

Domínio: $$$\left(-\infty, \infty\right)$$$A.

Imagem: $$$\left(-\infty, -4\right] \cup \left[4, \infty\right)$$$A.