Propriedades da elipse $$$6 x^{2} - 30 \sqrt{2} x + 8 y^{2} - 8 \sqrt{2} y + 67 = 0$$$

Encontre o centro, focos, vértices, co-vértices, comprimento do eixo maior, comprimento do semi-eixo maior, comprimento do eixo menor, comprimento do eixo semi-menor, área, circunferência, latera recta, comprimento da latera recta (largura focal), focal parâmetro, excentricidade, excentricidade linear (distância focal), diretrizes, interceptações x, interceptações y, domínio e alcance da elipse $$$6 x^{2} - 30 \sqrt{2} x + 8 y^{2} - 8 \sqrt{2} y + 67 = 0$$$.

A equação de uma elipse é $$$\frac{\left(x - h\right)^{2}}{a^{2}} + \frac{\left(y - k\right)^{2}}{b^{2}} = 1$$$, onde $$$\left(h, k\right)$$$ é o centro, $$$a$$$ e $$$b$$$ são os comprimentos dos semi-eixos maiores e semi-menores.

Nossa elipse nesta forma é $$$\frac{\left(x - \frac{5 \sqrt{2}}{2}\right)^{2}}{2} + \frac{\left(y - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}}{\frac{3}{2}} = 1$$$.

Assim, $$$h = \frac{5 \sqrt{2}}{2}$$$, $$$k = \frac{\sqrt{2}}{2}$$$, $$$a = \sqrt{2}$$$, $$$b = \frac{\sqrt{6}}{2}$$$.

O formulário padrão é $$$\frac{\left(x - \frac{5 \sqrt{2}}{2}\right)^{2}}{\left(\sqrt{2}\right)^{2}} + \frac{\left(y - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}}{\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^{2}} = 1$$$.

A forma do vértice é $$$\frac{\left(x - \frac{5 \sqrt{2}}{2}\right)^{2}}{2} + \frac{2 \left(y - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}}{3} = 1$$$.

A forma geral é $$$6 x^{2} - 30 \sqrt{2} x + 8 y^{2} - 8 \sqrt{2} y + 67 = 0$$$.

A excentricidade linear (distância focal) é $$$c = \sqrt{a^{2} - b^{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$$.

A excentricidade é $$$e = \frac{c}{a} = \frac{1}{2}$$$.

O primeiro foco é $$$\left(h - c, k\right) = \left(2 \sqrt{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$$.

O segundo foco é $$$\left(h + c, k\right) = \left(3 \sqrt{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$$.

O primeiro vértice é $$$\left(h - a, k\right) = \left(\frac{3 \sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$$.

O segundo vértice é $$$\left(h + a, k\right) = \left(\frac{7 \sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$$.

O primeiro co-vértice é $$$\left(h, k - b\right) = \left(\frac{5 \sqrt{2}}{2}, \frac{- \sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}\right)$$$.

O segundo co-vértice é $$$\left(h, k + b\right) = \left(\frac{5 \sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2}\right)$$$.

O comprimento do eixo maior é $$$2 a = 2 \sqrt{2}$$$.

O comprimento do eixo menor é $$$2 b = \sqrt{6}$$$.

A área é $$$\pi a b = \sqrt{3} \pi$$$.

A circunferência é $$$4 a E\left(\frac{\pi}{2}\middle| e^{2}\right) = 4 \sqrt{2} E\left(\frac{1}{4}\right)$$$.

O parâmetro focal é a distância entre o foco e a diretriz: $$$\frac{b^{2}}{c} = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$$$.

Os latera recta são as linhas paralelas ao eixo menor que passam pelos focos.

O primeiro latus rectum é $$$x = 2 \sqrt{2}$$$.

O segundo latus rectum é $$$x = 3 \sqrt{2}$$$.

Os pontos finais do primeiro latus rectum podem ser encontrados resolvendo o sistema $$$\begin{cases} 6 x^{2} - 30 \sqrt{2} x + 8 y^{2} - 8 \sqrt{2} y + 67 = 0 \\ x = 2 \sqrt{2} \end{cases}$$$ (para conhecer as etapas, consulte calculadora do sistema de equações).

Os pontos finais do primeiro latus rectum são $$$\left(2 \sqrt{2}, - \frac{\sqrt{2}}{4}\right)$$$, $$$\left(2 \sqrt{2}, \frac{5 \sqrt{2}}{4}\right)$$$.

Os pontos finais do segundo latus rectum podem ser encontrados resolvendo o sistema $$$\begin{cases} 6 x^{2} - 30 \sqrt{2} x + 8 y^{2} - 8 \sqrt{2} y + 67 = 0 \\ x = 3 \sqrt{2} \end{cases}$$$ (para conhecer as etapas, consulte calculadora do sistema de equações).

Os pontos finais do segundo latus rectum são $$$\left(3 \sqrt{2}, - \frac{\sqrt{2}}{4}\right)$$$, $$$\left(3 \sqrt{2}, \frac{5 \sqrt{2}}{4}\right)$$$.

O comprimento da latera recta (largura focal) é $$$\frac{2 b^{2}}{a} = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$$$.

A primeira diretriz é $$$x = h - \frac{a^{2}}{c} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$$.

A segunda diretriz é $$$x = h + \frac{a^{2}}{c} = \frac{9 \sqrt{2}}{2}$$$.

As interceptações x podem ser encontradas definindo $$$y = 0$$$ na equação e resolvendo para $$$x$$$ (para conhecer as etapas, consulte calculadora de interceptações).

interceptações x: $$$\left(- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{5 \sqrt{2}}{2}, 0\right)$$$, $$$\left(\frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{5 \sqrt{2}}{2}, 0\right)$$$

As interceptações y podem ser encontradas definindo $$$x = 0$$$ na equação e resolvendo para $$$y$$$: (para conhecer as etapas, consulte calculadora de interceptações).

Como não há soluções reais, não há interceptações em y.

O domínio é $$$\left[h - a, h + a\right] = \left[\frac{3 \sqrt{2}}{2}, \frac{7 \sqrt{2}}{2}\right]$$$.

O intervalo é $$$\left[k - b, k + b\right] = \left[\frac{- \sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2}\right]$$$.

Forma/equação padrão: $$$\frac{\left(x - \frac{5 \sqrt{2}}{2}\right)^{2}}{\left(\sqrt{2}\right)^{2}} + \frac{\left(y - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}}{\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^{2}} = 1$$$A.

Forma/equação do vértice: $$$\frac{\left(x - \frac{5 \sqrt{2}}{2}\right)^{2}}{2} + \frac{2 \left(y - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}}{3} = 1$$$A.

Forma geral/equação: $$$6 x^{2} - 30 \sqrt{2} x + 8 y^{2} - 8 \sqrt{2} y + 67 = 0$$$A.

Primeira forma/equação da diretriz de foco: $$$\left(x - 2 \sqrt{2}\right)^{2} + \left(y - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2} = \frac{\left(x - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}}{4}$$$A.

Segunda forma/equação da diretriz de foco: $$$\left(x - 3 \sqrt{2}\right)^{2} + \left(y - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2} = \frac{\left(x - \frac{9 \sqrt{2}}{2}\right)^{2}}{4}$$$A.

Gráfico: consulte a calculadora gráfica.

Centro: $$$\left(\frac{5 \sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\approx \left(3.535533905932738, 0.707106781186548\right)$$$A.

Primeiro foco: $$$\left(2 \sqrt{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\approx \left(2.82842712474619, 0.707106781186548\right)$$$A.

Segundo foco: $$$\left(3 \sqrt{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\approx \left(4.242640687119285, 0.707106781186548\right)$$$A.

Primeiro vértice: $$$\left(\frac{3 \sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\approx \left(2.121320343559643, 0.707106781186548\right)$$$A.

Segundo vértice: $$$\left(\frac{7 \sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\approx \left(4.949747468305833, 0.707106781186548\right)$$$A.

Primeiro co-vértice: $$$\left(\frac{5 \sqrt{2}}{2}, \frac{- \sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}\right)\approx \left(3.535533905932738, -0.517638090205042\right).$$$A

Segundo co-vértice: $$$\left(\frac{5 \sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2}\right)\approx \left(3.535533905932738, 1.931851652578137\right).$$$A

Comprimento do eixo principal: $$$2 \sqrt{2}\approx 2.82842712474619$$$A.

Comprimento do semi-eixo maior: $$$\sqrt{2}\approx 1.414213562373095$$$A.

Comprimento do eixo menor: $$$\sqrt{6}\approx 2.449489742783178$$$A.

Comprimento do semi-eixo menor: $$$\frac{\sqrt{6}}{2}\approx 1.224744871391589$$$A.

Área: $$$\sqrt{3} \pi\approx 5.441398092702654$$$A.

Circunferência: $$$4 \sqrt{2} E\left(\frac{1}{4}\right)\approx 8.301219834871215$$$A.

Primeiro latus rectum: $$$x = 2 \sqrt{2}\approx 2.82842712474619$$$A.

Segundo latus rectum: $$$x = 3 \sqrt{2}\approx 4.242640687119285$$$A.

Endpoints do primeiro latus rectum: $$$\left(2 \sqrt{2}, - \frac{\sqrt{2}}{4}\right)\approx \left(2.82842712474619, -0.353553390593274\right)$$$, $$$\left(2 \sqrt{2}, \frac{5 \sqrt{2}}{4}\right)\approx \left(2.82842712474619, 1.767766952966369\right)$$$A.

Endpoints do segundo latus rectum: $$$\left(3 \sqrt{2}, - \frac{\sqrt{2}}{4}\right)\approx \left(4.242640687119285, -0.353553390593274\right)$$$, $$$\left(3 \sqrt{2}, \frac{5 \sqrt{2}}{4}\right)\approx \left(4.242640687119285, 1.767766952966369\right)$$$A.

Comprimento da latera recta (largura focal): $$$\frac{3 \sqrt{2}}{2}\approx 2.121320343559643$$$A.

Parâmetro focal: $$$\frac{3 \sqrt{2}}{2}\approx 2.121320343559643$$$A.

Excentricidade: $$$\frac{1}{2} = 0.5$$$A.

Excentricidade linear (distância focal): $$$\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0.707106781186548$$$A.

Primeira diretriz: $$$x = \frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0.707106781186548$$$A.

Segunda diretriz: $$$x = \frac{9 \sqrt{2}}{2}\approx 6.363961030678928$$$A.

interceptações x: $$$\left(- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{5 \sqrt{2}}{2}, 0\right)\approx \left(2.380833367553486, 0\right)$$$, $$$\left(\frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{5 \sqrt{2}}{2}, 0\right)\approx \left(4.690234444311989, 0\right)$$$A

interceptações y: sem interceptações y

Domínio: $$$\left[\frac{3 \sqrt{2}}{2}, \frac{7 \sqrt{2}}{2}\right]\approx \left[2.121320343559643, 4.949747468305833\right]$$$A.

Intervalo: $$$\left[\frac{- \sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2}\right]\approx \left[-0.517638090205042, 1.931851652578137\right].$$$A