Integraal van $$$\ln\left(x y\right)$$$ met betrekking tot $$$x$$$

Bepaal $$$\int \ln\left(x y\right)\, dx$$$.

Zij $$$u=x y$$$.

Dan $$$du=\left(x y\right)^{\prime }dx = y dx$$$ (de stappen zijn te zien »), en dan geldt dat $$$dx = \frac{du}{y}$$$.

De integraal wordt

$${\color{red}{\int{\ln{\left(x y \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\ln{\left(u \right)}}{y} d u}}}$$

Pas de constante-veelvoudregel $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ toe met $$$c=\frac{1}{y}$$$ en $$$f{\left(u \right)} = \ln{\left(u \right)}$$$:

$${\color{red}{\int{\frac{\ln{\left(u \right)}}{y} d u}}} = {\color{red}{\frac{\int{\ln{\left(u \right)} d u}}{y}}}$$

Voor de integraal $$$\int{\ln{\left(u \right)} d u}$$$, gebruik partiële integratie $$$\int \operatorname{m} \operatorname{dv} = \operatorname{m}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{dm}$$$.

Zij $$$\operatorname{m}=\ln{\left(u \right)}$$$ en $$$\operatorname{dv}=du$$$.

Dan $$$\operatorname{dm}=\left(\ln{\left(u \right)}\right)^{\prime }du=\frac{du}{u}$$$ (de stappen zijn te zien ») en $$$\operatorname{v}=\int{1 d u}=u$$$ (de stappen zijn te zien »).

De integraal wordt

$$\frac{{\color{red}{\int{\ln{\left(u \right)} d u}}}}{y}=\frac{{\color{red}{\left(\ln{\left(u \right)} \cdot u-\int{u \cdot \frac{1}{u} d u}\right)}}}{y}=\frac{{\color{red}{\left(u \ln{\left(u \right)} - \int{1 d u}\right)}}}{y}$$

Pas de constantenregel $$$\int c\, du = c u$$$ toe met $$$c=1$$$:

$$\frac{u \ln{\left(u \right)} - {\color{red}{\int{1 d u}}}}{y} = \frac{u \ln{\left(u \right)} - {\color{red}{u}}}{y}$$

We herinneren eraan dat $$$u=x y$$$:

$$\frac{- {\color{red}{u}} + {\color{red}{u}} \ln{\left({\color{red}{u}} \right)}}{y} = \frac{- {\color{red}{x y}} + {\color{red}{x y}} \ln{\left({\color{red}{x y}} \right)}}{y}$$

Dus,

$$\int{\ln{\left(x y \right)} d x} = \frac{x y \ln{\left(x y \right)} - x y}{y}$$

Vereenvoudig:

$$\int{\ln{\left(x y \right)} d x} = x \left(\ln{\left(x y \right)} - 1\right)$$

Voeg de integratieconstante toe:

$$\int{\ln{\left(x y \right)} d x} = x \left(\ln{\left(x y \right)} - 1\right)+C$$

$$$\int \ln\left(x y\right)\, dx = x \left(\ln\left(x y\right) - 1\right) + C$$$A