$$$\ln\left(x y\right)$$$ 對 $$$x$$$ 的積分

求$$$\int \ln\left(x y\right)\, dx$$$。

令 $$$u=x y$$$。

則 $$$du=\left(x y\right)^{\prime }dx = y dx$$$ (步驟見»)，並可得 $$$dx = \frac{du}{y}$$$。

因此，

$${\color{red}{\int{\ln{\left(x y \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\ln{\left(u \right)}}{y} d u}}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$，使用 $$$c=\frac{1}{y}$$$ 與 $$$f{\left(u \right)} = \ln{\left(u \right)}$$$：

$${\color{red}{\int{\frac{\ln{\left(u \right)}}{y} d u}}} = {\color{red}{\frac{\int{\ln{\left(u \right)} d u}}{y}}}$$

對於積分 $$$\int{\ln{\left(u \right)} d u}$$$，使用分部積分法 $$$\int \operatorname{m} \operatorname{dv} = \operatorname{m}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{dm}$$$。

令 $$$\operatorname{m}=\ln{\left(u \right)}$$$ 與 $$$\operatorname{dv}=du$$$。

則 $$$\operatorname{dm}=\left(\ln{\left(u \right)}\right)^{\prime }du=\frac{du}{u}$$$（步驟見 »），且 $$$\operatorname{v}=\int{1 d u}=u$$$（步驟見 »）。

因此，

$$\frac{{\color{red}{\int{\ln{\left(u \right)} d u}}}}{y}=\frac{{\color{red}{\left(\ln{\left(u \right)} \cdot u-\int{u \cdot \frac{1}{u} d u}\right)}}}{y}=\frac{{\color{red}{\left(u \ln{\left(u \right)} - \int{1 d u}\right)}}}{y}$$

配合 $$$c=1$$$，應用常數法則 $$$\int c\, du = c u$$$：

$$\frac{u \ln{\left(u \right)} - {\color{red}{\int{1 d u}}}}{y} = \frac{u \ln{\left(u \right)} - {\color{red}{u}}}{y}$$

回顧一下 $$$u=x y$$$：

$$\frac{- {\color{red}{u}} + {\color{red}{u}} \ln{\left({\color{red}{u}} \right)}}{y} = \frac{- {\color{red}{x y}} + {\color{red}{x y}} \ln{\left({\color{red}{x y}} \right)}}{y}$$

因此，

$$\int{\ln{\left(x y \right)} d x} = \frac{x y \ln{\left(x y \right)} - x y}{y}$$

化簡：

$$\int{\ln{\left(x y \right)} d x} = x \left(\ln{\left(x y \right)} - 1\right)$$

加上積分常數：

$$\int{\ln{\left(x y \right)} d x} = x \left(\ln{\left(x y \right)} - 1\right)+C$$

$$$\int \ln\left(x y\right)\, dx = x \left(\ln\left(x y\right) - 1\right) + C$$$A