$$$x^{2} \left(x^{3} - 5\right)^{7}$$$의 적분

$$$\int x^{2} \left(x^{3} - 5\right)^{7}\, dx$$$을(를) 구하시오.

$$$u=x^{3} - 5$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(x^{3} - 5\right)^{\prime }dx = 3 x^{2} dx$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$x^{2} dx = \frac{du}{3}$$$임을 얻습니다.

따라서,

$${\color{red}{\int{x^{2} \left(x^{3} - 5\right)^{7} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{u^{7}}{3} d u}}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=\frac{1}{3}$$$와 $$$f{\left(u \right)} = u^{7}$$$에 적용하세요:

$${\color{red}{\int{\frac{u^{7}}{3} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{u^{7} d u}}{3}\right)}}$$

멱법칙($$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$)을 $$$n=7$$$에 적용합니다:

$$\frac{{\color{red}{\int{u^{7} d u}}}}{3}=\frac{{\color{red}{\frac{u^{1 + 7}}{1 + 7}}}}{3}=\frac{{\color{red}{\left(\frac{u^{8}}{8}\right)}}}{3}$$

다음 $$$u=x^{3} - 5$$$을 기억하라:

$$\frac{{\color{red}{u}}^{8}}{24} = \frac{{\color{red}{\left(x^{3} - 5\right)}}^{8}}{24}$$

따라서,

$$\int{x^{2} \left(x^{3} - 5\right)^{7} d x} = \frac{\left(x^{3} - 5\right)^{8}}{24}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{x^{2} \left(x^{3} - 5\right)^{7} d x} = \frac{\left(x^{3} - 5\right)^{8}}{24}+C$$

$$$\int x^{2} \left(x^{3} - 5\right)^{7}\, dx = \frac{\left(x^{3} - 5\right)^{8}}{24} + C$$$A