$$$\tan{\left(\theta \right)}$$$의 적분

$$$\int \tan{\left(\theta \right)}\, d\theta$$$을(를) 구하시오.

탄젠트를 $$$\tan\left(\theta\right)=\frac{\sin\left(\theta\right)}{\cos\left(\theta\right)}$$$ 형태로 다시 쓰십시오:

$${\color{red}{\int{\tan{\left(\theta \right)} d \theta}}} = {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(\theta \right)}}{\cos{\left(\theta \right)}} d \theta}}}$$

$$$u=\cos{\left(\theta \right)}$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(\cos{\left(\theta \right)}\right)^{\prime }d\theta = - \sin{\left(\theta \right)} d\theta$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$\sin{\left(\theta \right)} d\theta = - du$$$임을 얻습니다.

따라서,

$${\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(\theta \right)}}{\cos{\left(\theta \right)}} d \theta}}} = {\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{u}\right)d u}}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=-1$$$와 $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$$$에 적용하세요:

$${\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{u}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \int{\frac{1}{u} d u}\right)}}$$

$$$\frac{1}{u}$$$의 적분은 $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$:

$$- {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}} = - {\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}$$

다음 $$$u=\cos{\left(\theta \right)}$$$을 기억하라:

$$- \ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)} = - \ln{\left(\left|{{\color{red}{\cos{\left(\theta \right)}}}}\right| \right)}$$

따라서,

$$\int{\tan{\left(\theta \right)} d \theta} = - \ln{\left(\left|{\cos{\left(\theta \right)}}\right| \right)}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\tan{\left(\theta \right)} d \theta} = - \ln{\left(\left|{\cos{\left(\theta \right)}}\right| \right)}+C$$

$$$\int \tan{\left(\theta \right)}\, d\theta = - \ln\left(\left|{\cos{\left(\theta \right)}}\right|\right) + C$$$A