$$$\sqrt{\frac{1 - x}{x}}$$$의 적분

$$$\int \sqrt{\frac{1 - x}{x}}\, dx$$$을(를) 구하시오.

입력이 다음과 같이 다시 쓰입니다: $$$\int{\sqrt{\frac{1 - x}{x}} d x}=\int{\frac{\sqrt{1 - x}}{\sqrt{x}} d x}$$$.

$$$u=\sqrt{x}$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(\sqrt{x}\right)^{\prime }dx = \frac{1}{2 \sqrt{x}} dx$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$\frac{dx}{\sqrt{x}} = 2 du$$$임을 얻습니다.

따라서,

$${\color{red}{\int{\frac{\sqrt{1 - x}}{\sqrt{x}} d x}}} = {\color{red}{\int{2 \sqrt{1 - u^{2}} d u}}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=2$$$와 $$$f{\left(u \right)} = \sqrt{1 - u^{2}}$$$에 적용하세요:

$${\color{red}{\int{2 \sqrt{1 - u^{2}} d u}}} = {\color{red}{\left(2 \int{\sqrt{1 - u^{2}} d u}\right)}}$$

$$$u=\sin{\left(v \right)}$$$라 하자.

따라서 $$$du=\left(\sin{\left(v \right)}\right)^{\prime }dv = \cos{\left(v \right)} dv$$$ (풀이 과정은 »에서 볼 수 있습니다).

또한 $$$v=\operatorname{asin}{\left(u \right)}$$$가 성립한다.

따라서,

$$$\sqrt{1 - u ^{2}} = \sqrt{1 - \sin^{2}{\left( v \right)}}$$$

$$$1 - \sin^{2}{\left( v \right)} = \cos^{2}{\left( v \right)}$$$ 항등식을 사용하시오:

$$$\sqrt{1 - \sin^{2}{\left( v \right)}}=\sqrt{\cos^{2}{\left( v \right)}}$$$

$$$\cos{\left( v \right)} \ge 0$$$라고 가정하면, 다음을 얻습니다:

$$$\sqrt{\cos^{2}{\left( v \right)}} = \cos{\left( v \right)}$$$

따라서,

$$2 {\color{red}{\int{\sqrt{1 - u^{2}} d u}}} = 2 {\color{red}{\int{\cos^{2}{\left(v \right)} d v}}}$$

멱 감소 공식 $$$\cos^{2}{\left(\alpha \right)} = \frac{\cos{\left(2 \alpha \right)}}{2} + \frac{1}{2}$$$를 $$$\alpha= v $$$에 적용하세요:

$$2 {\color{red}{\int{\cos^{2}{\left(v \right)} d v}}} = 2 {\color{red}{\int{\left(\frac{\cos{\left(2 v \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)d v}}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(v \right)}\, dv = c \int f{\left(v \right)}\, dv$$$을 $$$c=\frac{1}{2}$$$와 $$$f{\left(v \right)} = \cos{\left(2 v \right)} + 1$$$에 적용하세요:

$$2 {\color{red}{\int{\left(\frac{\cos{\left(2 v \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)d v}}} = 2 {\color{red}{\left(\frac{\int{\left(\cos{\left(2 v \right)} + 1\right)d v}}{2}\right)}}$$

각 항별로 적분하십시오:

$${\color{red}{\int{\left(\cos{\left(2 v \right)} + 1\right)d v}}} = {\color{red}{\left(\int{1 d v} + \int{\cos{\left(2 v \right)} d v}\right)}}$$

상수 법칙 $$$\int c\, dv = c v$$$을 $$$c=1$$$에 적용하십시오:

$$\int{\cos{\left(2 v \right)} d v} + {\color{red}{\int{1 d v}}} = \int{\cos{\left(2 v \right)} d v} + {\color{red}{v}}$$

$$$w=2 v$$$라 하자.

그러면 $$$dw=\left(2 v\right)^{\prime }dv = 2 dv$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$dv = \frac{dw}{2}$$$임을 얻습니다.

따라서,

$$v + {\color{red}{\int{\cos{\left(2 v \right)} d v}}} = v + {\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(w \right)}}{2} d w}}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(w \right)}\, dw = c \int f{\left(w \right)}\, dw$$$을 $$$c=\frac{1}{2}$$$와 $$$f{\left(w \right)} = \cos{\left(w \right)}$$$에 적용하세요:

$$v + {\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(w \right)}}{2} d w}}} = v + {\color{red}{\left(\frac{\int{\cos{\left(w \right)} d w}}{2}\right)}}$$

코사인의 적분은 $$$\int{\cos{\left(w \right)} d w} = \sin{\left(w \right)}$$$:

$$v + \frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(w \right)} d w}}}}{2} = v + \frac{{\color{red}{\sin{\left(w \right)}}}}{2}$$

다음 $$$w=2 v$$$을 기억하라:

$$v + \frac{\sin{\left({\color{red}{w}} \right)}}{2} = v + \frac{\sin{\left({\color{red}{\left(2 v\right)}} \right)}}{2}$$

다음 $$$v=\operatorname{asin}{\left(u \right)}$$$을 기억하라:

$$\frac{\sin{\left(2 {\color{red}{v}} \right)}}{2} + {\color{red}{v}} = \frac{\sin{\left(2 {\color{red}{\operatorname{asin}{\left(u \right)}}} \right)}}{2} + {\color{red}{\operatorname{asin}{\left(u \right)}}}$$

다음 $$$u=\sqrt{x}$$$을 기억하라:

$$\frac{\sin{\left(2 \operatorname{asin}{\left({\color{red}{u}} \right)} \right)}}{2} + \operatorname{asin}{\left({\color{red}{u}} \right)} = \frac{\sin{\left(2 \operatorname{asin}{\left({\color{red}{\sqrt{x}}} \right)} \right)}}{2} + \operatorname{asin}{\left({\color{red}{\sqrt{x}}} \right)}$$

따라서,

$$\int{\frac{\sqrt{1 - x}}{\sqrt{x}} d x} = \frac{\sin{\left(2 \operatorname{asin}{\left(\sqrt{x} \right)} \right)}}{2} + \operatorname{asin}{\left(\sqrt{x} \right)}$$

공식 $$$\sin{\left(2 \operatorname{asin}{\left(\alpha \right)} \right)} = 2 \alpha \sqrt{1 - \alpha^{2}}$$$, $$$\sin{\left(2 \operatorname{acos}{\left(\alpha \right)} \right)} = 2 \alpha \sqrt{1 - \alpha^{2}}$$$, $$$\cos{\left(2 \operatorname{asin}{\left(\alpha \right)} \right)} = 1 - 2 \alpha^{2}$$$, $$$\cos{\left(2 \operatorname{acos}{\left(\alpha \right)} \right)} = 2 \alpha^{2} - 1$$$, $$$\sinh{\left(2 \operatorname{asinh}{\left(\alpha \right)} \right)} = 2 \alpha \sqrt{\alpha^{2} + 1}$$$, $$$\sinh{\left(2 \operatorname{acosh}{\left(\alpha \right)} \right)} = 2 \alpha \sqrt{\alpha - 1} \sqrt{\alpha + 1}$$$, $$$\cosh{\left(2 \operatorname{asinh}{\left(\alpha \right)} \right)} = 2 \alpha^{2} + 1$$$, $$$\cosh{\left(2 \operatorname{acosh}{\left(\alpha \right)} \right)} = 2 \alpha^{2} - 1$$$을 사용하여 식을 간단히 하십시오:

$$\int{\frac{\sqrt{1 - x}}{\sqrt{x}} d x} = \sqrt{x} \sqrt{1 - x} + \operatorname{asin}{\left(\sqrt{x} \right)}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\frac{\sqrt{1 - x}}{\sqrt{x}} d x} = \sqrt{x} \sqrt{1 - x} + \operatorname{asin}{\left(\sqrt{x} \right)}+C$$

$$$\int \sqrt{\frac{1 - x}{x}}\, dx = \left(\sqrt{x} \sqrt{1 - x} + \operatorname{asin}{\left(\sqrt{x} \right)}\right) + C$$$A