$$$\sqrt{\frac{1 - x}{x}}$$$の積分

$$$\int \sqrt{\frac{1 - x}{x}}\, dx$$$ を求めよ。

入力は次のように書き換えられます: $$$\int{\sqrt{\frac{1 - x}{x}} d x}=\int{\frac{\sqrt{1 - x}}{\sqrt{x}} d x}$$$。

$$$u=\sqrt{x}$$$ とする。

すると $$$du=\left(\sqrt{x}\right)^{\prime }dx = \frac{1}{2 \sqrt{x}} dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$\frac{dx}{\sqrt{x}} = 2 du$$$ となります。

したがって、

$${\color{red}{\int{\frac{\sqrt{1 - x}}{\sqrt{x}} d x}}} = {\color{red}{\int{2 \sqrt{1 - u^{2}} d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=2$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \sqrt{1 - u^{2}}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{2 \sqrt{1 - u^{2}} d u}}} = {\color{red}{\left(2 \int{\sqrt{1 - u^{2}} d u}\right)}}$$

$$$u=\sin{\left(v \right)}$$$ とする。

すると $$$du=\left(\sin{\left(v \right)}\right)^{\prime }dv = \cos{\left(v \right)} dv$$$ (手順は»で確認できます)。

また、$$$v=\operatorname{asin}{\left(u \right)}$$$が成り立つ。

したがって、

$$$\sqrt{1 - u ^{2}} = \sqrt{1 - \sin^{2}{\left( v \right)}}$$$

恒等式 $$$1 - \sin^{2}{\left( v \right)} = \cos^{2}{\left( v \right)}$$$ を用いよ:

$$$\sqrt{1 - \sin^{2}{\left( v \right)}}=\sqrt{\cos^{2}{\left( v \right)}}$$$

$$$\cos{\left( v \right)} \ge 0$$$ を仮定すると、以下が得られる:

$$$\sqrt{\cos^{2}{\left( v \right)}} = \cos{\left( v \right)}$$$

したがって、

$$2 {\color{red}{\int{\sqrt{1 - u^{2}} d u}}} = 2 {\color{red}{\int{\cos^{2}{\left(v \right)} d v}}}$$

冪低減公式 $$$\cos^{2}{\left(\alpha \right)} = \frac{\cos{\left(2 \alpha \right)}}{2} + \frac{1}{2}$$$ を $$$\alpha= v $$$ に適用する:

$$2 {\color{red}{\int{\cos^{2}{\left(v \right)} d v}}} = 2 {\color{red}{\int{\left(\frac{\cos{\left(2 v \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)d v}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(v \right)}\, dv = c \int f{\left(v \right)}\, dv$$$ を、$$$c=\frac{1}{2}$$$ と $$$f{\left(v \right)} = \cos{\left(2 v \right)} + 1$$$ に対して適用する:

$$2 {\color{red}{\int{\left(\frac{\cos{\left(2 v \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)d v}}} = 2 {\color{red}{\left(\frac{\int{\left(\cos{\left(2 v \right)} + 1\right)d v}}{2}\right)}}$$

項別に積分せよ:

$${\color{red}{\int{\left(\cos{\left(2 v \right)} + 1\right)d v}}} = {\color{red}{\left(\int{1 d v} + \int{\cos{\left(2 v \right)} d v}\right)}}$$

$$$c=1$$$ に対して定数則 $$$\int c\, dv = c v$$$ を適用する:

$$\int{\cos{\left(2 v \right)} d v} + {\color{red}{\int{1 d v}}} = \int{\cos{\left(2 v \right)} d v} + {\color{red}{v}}$$

$$$w=2 v$$$ とする。

すると $$$dw=\left(2 v\right)^{\prime }dv = 2 dv$$$（手順は»で確認できます）、$$$dv = \frac{dw}{2}$$$ となります。

積分は次のようになります

$$v + {\color{red}{\int{\cos{\left(2 v \right)} d v}}} = v + {\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(w \right)}}{2} d w}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(w \right)}\, dw = c \int f{\left(w \right)}\, dw$$$ を、$$$c=\frac{1}{2}$$$ と $$$f{\left(w \right)} = \cos{\left(w \right)}$$$ に対して適用する:

$$v + {\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(w \right)}}{2} d w}}} = v + {\color{red}{\left(\frac{\int{\cos{\left(w \right)} d w}}{2}\right)}}$$

余弦の積分は$$$\int{\cos{\left(w \right)} d w} = \sin{\left(w \right)}$$$:

$$v + \frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(w \right)} d w}}}}{2} = v + \frac{{\color{red}{\sin{\left(w \right)}}}}{2}$$

次のことを思い出してください $$$w=2 v$$$:

$$v + \frac{\sin{\left({\color{red}{w}} \right)}}{2} = v + \frac{\sin{\left({\color{red}{\left(2 v\right)}} \right)}}{2}$$

次のことを思い出してください $$$v=\operatorname{asin}{\left(u \right)}$$$:

$$\frac{\sin{\left(2 {\color{red}{v}} \right)}}{2} + {\color{red}{v}} = \frac{\sin{\left(2 {\color{red}{\operatorname{asin}{\left(u \right)}}} \right)}}{2} + {\color{red}{\operatorname{asin}{\left(u \right)}}}$$

次のことを思い出してください $$$u=\sqrt{x}$$$:

$$\frac{\sin{\left(2 \operatorname{asin}{\left({\color{red}{u}} \right)} \right)}}{2} + \operatorname{asin}{\left({\color{red}{u}} \right)} = \frac{\sin{\left(2 \operatorname{asin}{\left({\color{red}{\sqrt{x}}} \right)} \right)}}{2} + \operatorname{asin}{\left({\color{red}{\sqrt{x}}} \right)}$$

したがって、

$$\int{\frac{\sqrt{1 - x}}{\sqrt{x}} d x} = \frac{\sin{\left(2 \operatorname{asin}{\left(\sqrt{x} \right)} \right)}}{2} + \operatorname{asin}{\left(\sqrt{x} \right)}$$

公式 $$$\sin{\left(2 \operatorname{asin}{\left(\alpha \right)} \right)} = 2 \alpha \sqrt{1 - \alpha^{2}}$$$, $$$\sin{\left(2 \operatorname{acos}{\left(\alpha \right)} \right)} = 2 \alpha \sqrt{1 - \alpha^{2}}$$$, $$$\cos{\left(2 \operatorname{asin}{\left(\alpha \right)} \right)} = 1 - 2 \alpha^{2}$$$, $$$\cos{\left(2 \operatorname{acos}{\left(\alpha \right)} \right)} = 2 \alpha^{2} - 1$$$, $$$\sinh{\left(2 \operatorname{asinh}{\left(\alpha \right)} \right)} = 2 \alpha \sqrt{\alpha^{2} + 1}$$$, $$$\sinh{\left(2 \operatorname{acosh}{\left(\alpha \right)} \right)} = 2 \alpha \sqrt{\alpha - 1} \sqrt{\alpha + 1}$$$, $$$\cosh{\left(2 \operatorname{asinh}{\left(\alpha \right)} \right)} = 2 \alpha^{2} + 1$$$, $$$\cosh{\left(2 \operatorname{acosh}{\left(\alpha \right)} \right)} = 2 \alpha^{2} - 1$$$ を用いて、式を簡単化しなさい:

$$\int{\frac{\sqrt{1 - x}}{\sqrt{x}} d x} = \sqrt{x} \sqrt{1 - x} + \operatorname{asin}{\left(\sqrt{x} \right)}$$

積分定数を加える:

$$\int{\frac{\sqrt{1 - x}}{\sqrt{x}} d x} = \sqrt{x} \sqrt{1 - x} + \operatorname{asin}{\left(\sqrt{x} \right)}+C$$

$$$\int \sqrt{\frac{1 - x}{x}}\, dx = \left(\sqrt{x} \sqrt{1 - x} + \operatorname{asin}{\left(\sqrt{x} \right)}\right) + C$$$A