$$$e^{\sqrt{x}}$$$의 적분

$$$\int e^{\sqrt{x}}\, dx$$$을(를) 구하시오.

$$$u=\sqrt{x}$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(\sqrt{x}\right)^{\prime }dx = \frac{1}{2 \sqrt{x}} dx$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$\frac{dx}{\sqrt{x}} = 2 du$$$임을 얻습니다.

적분은 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.

$${\color{red}{\int{e^{\sqrt{x}} d x}}} = {\color{red}{\int{2 u e^{u} d u}}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=2$$$와 $$$f{\left(u \right)} = u e^{u}$$$에 적용하세요:

$${\color{red}{\int{2 u e^{u} d u}}} = {\color{red}{\left(2 \int{u e^{u} d u}\right)}}$$

적분 $$$\int{u e^{u} d u}$$$에 대해서는 부분적분법 $$$\int \operatorname{m} \operatorname{dv} = \operatorname{m}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{dm}$$$을 사용하십시오.

$$$\operatorname{m}=u$$$와 $$$\operatorname{dv}=e^{u} du$$$라고 하자.

그러면 $$$\operatorname{dm}=\left(u\right)^{\prime }du=1 du$$$ (»에서 풀이 과정을 볼 수 있음) 및 $$$\operatorname{v}=\int{e^{u} d u}=e^{u}$$$ (»에서 풀이 과정을 볼 수 있음).

적분은 다음과 같이 됩니다.

$$2 {\color{red}{\int{u e^{u} d u}}}=2 {\color{red}{\left(u \cdot e^{u}-\int{e^{u} \cdot 1 d u}\right)}}=2 {\color{red}{\left(u e^{u} - \int{e^{u} d u}\right)}}$$

지수 함수의 적분은 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$입니다:

$$2 u e^{u} - 2 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = 2 u e^{u} - 2 {\color{red}{e^{u}}}$$

다음 $$$u=\sqrt{x}$$$을 기억하라:

$$- 2 e^{{\color{red}{u}}} + 2 {\color{red}{u}} e^{{\color{red}{u}}} = - 2 e^{{\color{red}{\sqrt{x}}}} + 2 {\color{red}{\sqrt{x}}} e^{{\color{red}{\sqrt{x}}}}$$

따라서,

$$\int{e^{\sqrt{x}} d x} = 2 \sqrt{x} e^{\sqrt{x}} - 2 e^{\sqrt{x}}$$

간단히 하시오:

$$\int{e^{\sqrt{x}} d x} = 2 \left(\sqrt{x} - 1\right) e^{\sqrt{x}}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{e^{\sqrt{x}} d x} = 2 \left(\sqrt{x} - 1\right) e^{\sqrt{x}}+C$$

$$$\int e^{\sqrt{x}}\, dx = 2 \left(\sqrt{x} - 1\right) e^{\sqrt{x}} + C$$$A