$$$e^{\sqrt{x}}$$$'nin integrali

Bulun: $$$\int e^{\sqrt{x}}\, dx$$$.

$$$u=\sqrt{x}$$$ olsun.

Böylece $$$du=\left(\sqrt{x}\right)^{\prime }dx = \frac{1}{2 \sqrt{x}} dx$$$ (adımlar » görülebilir) ve $$$\frac{dx}{\sqrt{x}} = 2 du$$$ elde ederiz.

Dolayısıyla,

$${\color{red}{\int{e^{\sqrt{x}} d x}}} = {\color{red}{\int{2 u e^{u} d u}}}$$

Sabit katsayı kuralı $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$'i $$$c=2$$$ ve $$$f{\left(u \right)} = u e^{u}$$$ ile uygula:

$${\color{red}{\int{2 u e^{u} d u}}} = {\color{red}{\left(2 \int{u e^{u} d u}\right)}}$$

$$$\int{u e^{u} d u}$$$ integrali için, kısmi integrasyonu $$$\int \operatorname{m} \operatorname{dv} = \operatorname{m}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{dm}$$$ kullanın.

$$$\operatorname{m}=u$$$ ve $$$\operatorname{dv}=e^{u} du$$$ olsun.

O halde $$$\operatorname{dm}=\left(u\right)^{\prime }du=1 du$$$ (adımlar için bkz. ») ve $$$\operatorname{v}=\int{e^{u} d u}=e^{u}$$$ (adımlar için bkz. »).

İntegral şu hale gelir

$$2 {\color{red}{\int{u e^{u} d u}}}=2 {\color{red}{\left(u \cdot e^{u}-\int{e^{u} \cdot 1 d u}\right)}}=2 {\color{red}{\left(u e^{u} - \int{e^{u} d u}\right)}}$$

Üstel fonksiyonun integrali $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$2 u e^{u} - 2 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = 2 u e^{u} - 2 {\color{red}{e^{u}}}$$

Hatırlayın ki $$$u=\sqrt{x}$$$:

$$- 2 e^{{\color{red}{u}}} + 2 {\color{red}{u}} e^{{\color{red}{u}}} = - 2 e^{{\color{red}{\sqrt{x}}}} + 2 {\color{red}{\sqrt{x}}} e^{{\color{red}{\sqrt{x}}}}$$

Dolayısıyla,

$$\int{e^{\sqrt{x}} d x} = 2 \sqrt{x} e^{\sqrt{x}} - 2 e^{\sqrt{x}}$$

Sadeleştirin:

$$\int{e^{\sqrt{x}} d x} = 2 \left(\sqrt{x} - 1\right) e^{\sqrt{x}}$$

İntegrasyon sabitini ekleyin:

$$\int{e^{\sqrt{x}} d x} = 2 \left(\sqrt{x} - 1\right) e^{\sqrt{x}}+C$$

$$$\int e^{\sqrt{x}}\, dx = 2 \left(\sqrt{x} - 1\right) e^{\sqrt{x}} + C$$$A