$$$e^{\sqrt{x}}$$$の積分

$$$\int e^{\sqrt{x}}\, dx$$$ を求めよ。

$$$u=\sqrt{x}$$$ とする。

すると $$$du=\left(\sqrt{x}\right)^{\prime }dx = \frac{1}{2 \sqrt{x}} dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$\frac{dx}{\sqrt{x}} = 2 du$$$ となります。

したがって、

$${\color{red}{\int{e^{\sqrt{x}} d x}}} = {\color{red}{\int{2 u e^{u} d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=2$$$ と $$$f{\left(u \right)} = u e^{u}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{2 u e^{u} d u}}} = {\color{red}{\left(2 \int{u e^{u} d u}\right)}}$$

積分 $$$\int{u e^{u} d u}$$$ には、部分積分法$$$\int \operatorname{m} \operatorname{dv} = \operatorname{m}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{dm}$$$を用いてください。

$$$\operatorname{m}=u$$$ と $$$\operatorname{dv}=e^{u} du$$$ とする。

したがって、$$$\operatorname{dm}=\left(u\right)^{\prime }du=1 du$$$（手順は»を参照）および$$$\operatorname{v}=\int{e^{u} d u}=e^{u}$$$（手順は»を参照）。

積分は次のようになります

$$2 {\color{red}{\int{u e^{u} d u}}}=2 {\color{red}{\left(u \cdot e^{u}-\int{e^{u} \cdot 1 d u}\right)}}=2 {\color{red}{\left(u e^{u} - \int{e^{u} d u}\right)}}$$

指数関数の積分は $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$です:

$$2 u e^{u} - 2 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = 2 u e^{u} - 2 {\color{red}{e^{u}}}$$

次のことを思い出してください $$$u=\sqrt{x}$$$:

$$- 2 e^{{\color{red}{u}}} + 2 {\color{red}{u}} e^{{\color{red}{u}}} = - 2 e^{{\color{red}{\sqrt{x}}}} + 2 {\color{red}{\sqrt{x}}} e^{{\color{red}{\sqrt{x}}}}$$

したがって、

$$\int{e^{\sqrt{x}} d x} = 2 \sqrt{x} e^{\sqrt{x}} - 2 e^{\sqrt{x}}$$

簡単化せよ:

$$\int{e^{\sqrt{x}} d x} = 2 \left(\sqrt{x} - 1\right) e^{\sqrt{x}}$$

積分定数を加える:

$$\int{e^{\sqrt{x}} d x} = 2 \left(\sqrt{x} - 1\right) e^{\sqrt{x}}+C$$

$$$\int e^{\sqrt{x}}\, dx = 2 \left(\sqrt{x} - 1\right) e^{\sqrt{x}} + C$$$A