$$$e^{- 2 t} \sin{\left(4 t \right)}$$$의 적분

$$$\int e^{- 2 t} \sin{\left(4 t \right)}\, dt$$$을(를) 구하시오.

적분 $$$\int{e^{- 2 t} \sin{\left(4 t \right)} d t}$$$에 대해서는 부분적분법 $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$을 사용하십시오.

$$$\operatorname{u}=\sin{\left(4 t \right)}$$$와 $$$\operatorname{dv}=e^{- 2 t} dt$$$라고 하자.

그러면 $$$\operatorname{du}=\left(\sin{\left(4 t \right)}\right)^{\prime }dt=4 \cos{\left(4 t \right)} dt$$$ (»에서 풀이 과정을 볼 수 있음) 및 $$$\operatorname{v}=\int{e^{- 2 t} d t}=- \frac{e^{- 2 t}}{2}$$$ (»에서 풀이 과정을 볼 수 있음).

적분은 다음과 같이 됩니다.

$${\color{red}{\int{e^{- 2 t} \sin{\left(4 t \right)} d t}}}={\color{red}{\left(\sin{\left(4 t \right)} \cdot \left(- \frac{e^{- 2 t}}{2}\right)-\int{\left(- \frac{e^{- 2 t}}{2}\right) \cdot 4 \cos{\left(4 t \right)} d t}\right)}}={\color{red}{\left(- \int{\left(- 2 e^{- 2 t} \cos{\left(4 t \right)}\right)d t} - \frac{e^{- 2 t} \sin{\left(4 t \right)}}{2}\right)}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$을 $$$c=-2$$$와 $$$f{\left(t \right)} = e^{- 2 t} \cos{\left(4 t \right)}$$$에 적용하세요:

$$- {\color{red}{\int{\left(- 2 e^{- 2 t} \cos{\left(4 t \right)}\right)d t}}} - \frac{e^{- 2 t} \sin{\left(4 t \right)}}{2} = - {\color{red}{\left(- 2 \int{e^{- 2 t} \cos{\left(4 t \right)} d t}\right)}} - \frac{e^{- 2 t} \sin{\left(4 t \right)}}{2}$$

적분 $$$\int{e^{- 2 t} \cos{\left(4 t \right)} d t}$$$에 대해서는 부분적분법 $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$을 사용하십시오.

$$$\operatorname{u}=\cos{\left(4 t \right)}$$$와 $$$\operatorname{dv}=e^{- 2 t} dt$$$라고 하자.

그러면 $$$\operatorname{du}=\left(\cos{\left(4 t \right)}\right)^{\prime }dt=- 4 \sin{\left(4 t \right)} dt$$$ (»에서 풀이 과정을 볼 수 있음) 및 $$$\operatorname{v}=\int{e^{- 2 t} d t}=- \frac{e^{- 2 t}}{2}$$$ (»에서 풀이 과정을 볼 수 있음).

적분은 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.

$$2 {\color{red}{\int{e^{- 2 t} \cos{\left(4 t \right)} d t}}} - \frac{e^{- 2 t} \sin{\left(4 t \right)}}{2}=2 {\color{red}{\left(\cos{\left(4 t \right)} \cdot \left(- \frac{e^{- 2 t}}{2}\right)-\int{\left(- \frac{e^{- 2 t}}{2}\right) \cdot \left(- 4 \sin{\left(4 t \right)}\right) d t}\right)}} - \frac{e^{- 2 t} \sin{\left(4 t \right)}}{2}=2 {\color{red}{\left(- \int{2 e^{- 2 t} \sin{\left(4 t \right)} d t} - \frac{e^{- 2 t} \cos{\left(4 t \right)}}{2}\right)}} - \frac{e^{- 2 t} \sin{\left(4 t \right)}}{2}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$을 $$$c=2$$$와 $$$f{\left(t \right)} = e^{- 2 t} \sin{\left(4 t \right)}$$$에 적용하세요:

$$- 2 {\color{red}{\int{2 e^{- 2 t} \sin{\left(4 t \right)} d t}}} - \frac{e^{- 2 t} \sin{\left(4 t \right)}}{2} - e^{- 2 t} \cos{\left(4 t \right)} = - 2 {\color{red}{\left(2 \int{e^{- 2 t} \sin{\left(4 t \right)} d t}\right)}} - \frac{e^{- 2 t} \sin{\left(4 t \right)}}{2} - e^{- 2 t} \cos{\left(4 t \right)}$$

우리는 이미 보았던 적분에 도달했습니다.

따라서 적분에 관한 다음과 같은 간단한 등식을 얻었습니다:

$$\int{e^{- 2 t} \sin{\left(4 t \right)} d t} = - 4 \int{e^{- 2 t} \sin{\left(4 t \right)} d t} - \frac{e^{- 2 t} \sin{\left(4 t \right)}}{2} - e^{- 2 t} \cos{\left(4 t \right)}$$

이를 풀면, 다음을 얻는다

$$\int{e^{- 2 t} \sin{\left(4 t \right)} d t} = \frac{\left(- \sin{\left(4 t \right)} - 2 \cos{\left(4 t \right)}\right) e^{- 2 t}}{10}$$

따라서,

$$\int{e^{- 2 t} \sin{\left(4 t \right)} d t} = \frac{\left(- \sin{\left(4 t \right)} - 2 \cos{\left(4 t \right)}\right) e^{- 2 t}}{10}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{e^{- 2 t} \sin{\left(4 t \right)} d t} = \frac{\left(- \sin{\left(4 t \right)} - 2 \cos{\left(4 t \right)}\right) e^{- 2 t}}{10}+C$$

$$$\int e^{- 2 t} \sin{\left(4 t \right)}\, dt = \frac{\left(- \sin{\left(4 t \right)} - 2 \cos{\left(4 t \right)}\right) e^{- 2 t}}{10} + C$$$A