$$$e^{- 2 t} \sin{\left(4 t \right)}$$$ 的積分

求$$$\int e^{- 2 t} \sin{\left(4 t \right)}\, dt$$$。

對於積分 $$$\int{e^{- 2 t} \sin{\left(4 t \right)} d t}$$$，使用分部積分法 $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$。

令 $$$\operatorname{u}=\sin{\left(4 t \right)}$$$ 與 $$$\operatorname{dv}=e^{- 2 t} dt$$$。

則 $$$\operatorname{du}=\left(\sin{\left(4 t \right)}\right)^{\prime }dt=4 \cos{\left(4 t \right)} dt$$$（步驟見 »），且 $$$\operatorname{v}=\int{e^{- 2 t} d t}=- \frac{e^{- 2 t}}{2}$$$（步驟見 »）。

因此，

$${\color{red}{\int{e^{- 2 t} \sin{\left(4 t \right)} d t}}}={\color{red}{\left(\sin{\left(4 t \right)} \cdot \left(- \frac{e^{- 2 t}}{2}\right)-\int{\left(- \frac{e^{- 2 t}}{2}\right) \cdot 4 \cos{\left(4 t \right)} d t}\right)}}={\color{red}{\left(- \int{\left(- 2 e^{- 2 t} \cos{\left(4 t \right)}\right)d t} - \frac{e^{- 2 t} \sin{\left(4 t \right)}}{2}\right)}}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$，使用 $$$c=-2$$$ 與 $$$f{\left(t \right)} = e^{- 2 t} \cos{\left(4 t \right)}$$$：

$$- {\color{red}{\int{\left(- 2 e^{- 2 t} \cos{\left(4 t \right)}\right)d t}}} - \frac{e^{- 2 t} \sin{\left(4 t \right)}}{2} = - {\color{red}{\left(- 2 \int{e^{- 2 t} \cos{\left(4 t \right)} d t}\right)}} - \frac{e^{- 2 t} \sin{\left(4 t \right)}}{2}$$

對於積分 $$$\int{e^{- 2 t} \cos{\left(4 t \right)} d t}$$$，使用分部積分法 $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$。

令 $$$\operatorname{u}=\cos{\left(4 t \right)}$$$ 與 $$$\operatorname{dv}=e^{- 2 t} dt$$$。

則 $$$\operatorname{du}=\left(\cos{\left(4 t \right)}\right)^{\prime }dt=- 4 \sin{\left(4 t \right)} dt$$$（步驟見 »），且 $$$\operatorname{v}=\int{e^{- 2 t} d t}=- \frac{e^{- 2 t}}{2}$$$（步驟見 »）。

因此，

$$2 {\color{red}{\int{e^{- 2 t} \cos{\left(4 t \right)} d t}}} - \frac{e^{- 2 t} \sin{\left(4 t \right)}}{2}=2 {\color{red}{\left(\cos{\left(4 t \right)} \cdot \left(- \frac{e^{- 2 t}}{2}\right)-\int{\left(- \frac{e^{- 2 t}}{2}\right) \cdot \left(- 4 \sin{\left(4 t \right)}\right) d t}\right)}} - \frac{e^{- 2 t} \sin{\left(4 t \right)}}{2}=2 {\color{red}{\left(- \int{2 e^{- 2 t} \sin{\left(4 t \right)} d t} - \frac{e^{- 2 t} \cos{\left(4 t \right)}}{2}\right)}} - \frac{e^{- 2 t} \sin{\left(4 t \right)}}{2}$$

套用常數倍法則 $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$，使用 $$$c=2$$$ 與 $$$f{\left(t \right)} = e^{- 2 t} \sin{\left(4 t \right)}$$$：

$$- 2 {\color{red}{\int{2 e^{- 2 t} \sin{\left(4 t \right)} d t}}} - \frac{e^{- 2 t} \sin{\left(4 t \right)}}{2} - e^{- 2 t} \cos{\left(4 t \right)} = - 2 {\color{red}{\left(2 \int{e^{- 2 t} \sin{\left(4 t \right)} d t}\right)}} - \frac{e^{- 2 t} \sin{\left(4 t \right)}}{2} - e^{- 2 t} \cos{\left(4 t \right)}$$

我們得到了先前見過的一個積分。

因此，我們得到關於該積分的如下簡單等式：

$$\int{e^{- 2 t} \sin{\left(4 t \right)} d t} = - 4 \int{e^{- 2 t} \sin{\left(4 t \right)} d t} - \frac{e^{- 2 t} \sin{\left(4 t \right)}}{2} - e^{- 2 t} \cos{\left(4 t \right)}$$

求解後，可得

$$\int{e^{- 2 t} \sin{\left(4 t \right)} d t} = \frac{\left(- \sin{\left(4 t \right)} - 2 \cos{\left(4 t \right)}\right) e^{- 2 t}}{10}$$

因此，

$$\int{e^{- 2 t} \sin{\left(4 t \right)} d t} = \frac{\left(- \sin{\left(4 t \right)} - 2 \cos{\left(4 t \right)}\right) e^{- 2 t}}{10}$$

加上積分常數：

$$\int{e^{- 2 t} \sin{\left(4 t \right)} d t} = \frac{\left(- \sin{\left(4 t \right)} - 2 \cos{\left(4 t \right)}\right) e^{- 2 t}}{10}+C$$

$$$\int e^{- 2 t} \sin{\left(4 t \right)}\, dt = \frac{\left(- \sin{\left(4 t \right)} - 2 \cos{\left(4 t \right)}\right) e^{- 2 t}}{10} + C$$$A